2015　東北学院大学　前期工学部全学部MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　${\log }_9(x^2+1)-{\log }_{3}x=1$のとき$x=\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta =2\sin (\theta -\alpha )$のとき$\alpha =\boxed{\text{(イ)}}$である．ただし$0<\alpha <\pi$とする．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3$の倍数で$1000$以下の自然数すべての和は$\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【２】　一辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}$$l=\left|\overrightarrow{\mathrm{EC}}\right|$とするとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{AB}$と$\mathrm{EC}$が平行であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$l$を用いて表せ．

(ⅱ)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$l$を用いて表せ．

(ⅲ)　$l$を求めよ．

【３】　放物線$C\text{：}y=x^2-x$について以下の問いに答えよ．ただし$a>0$とする．

(ⅰ)　点$(0,-a)$を通る$C$の$2$つの接線の方程式およびそれぞれの接点の座標を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた$2$つの接点を通る直線および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(ⅲ)　(ⅰ)で求めた$2$つの接線および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x+x\sqrt{1-x^2}$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし変曲点は求めなくてよい．

(ⅲ)　$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$で囲まれた部分の面積を求めよ．