2015　東北学院大学　前期分割文，経済，経営，法，教養学部2月2日MathJax

【１】　一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{RA}=x$を満たすようにとる．ただし，$0<x<1$である．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　線分$\mathrm{BR}$の長さを$x$を用いて表せ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{PBR}$の面積を$x$を用いて表せ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{PBR}$の外接円の面積の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(ⅳ)　三角形$\mathrm{PBR}$の外接円の半径$R_1$と三角形$\mathrm{PQR}$の外接円の半径$R_2$の大小を比較せよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$y=|x-1|+|x-2|$の最小値を求めよ．

(ⅱ)　$a<b$のとき，関数$y=|x-a|+|x-b|$の最小値を求めよ．

(ⅲ)　関数$y=x^2-3x+2-|x^2-3x+2|$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$3$次関数$f(x)=x^3+(m+1)x^2+(m^2-13)x$が$x=\alpha \text{，}\beta$で極値をとるとき，次の問いに答えよ．ただし，$m$は整数で$\alpha <\beta$とする．

(ⅰ)　$m$の値をすべて求めよ．

(ⅱ)　$\alpha \beta >0$のとき，$\alpha \text{，}\beta \text{，}m$の値を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた$m$に対し，曲線$y=f(x)$上の点$(0,0)$における接線が，この曲線と再び交わる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　正の実数$x\text{，}y$が${\log }_{3}x={\log }_{2}y$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\log }_{3}x={\log }_{2}y=a$とおくとき，$x\text{，}y$を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　${\log }_{6}xy={\log }_{\frac{3}{2}}{\displaystyle \frac{x}{y}}$であることを証明せよ．

【５】　$\mathrm{JUNRETU}$の$7$文字をすべて使って$1$列に並べるとき，次のような並べ方は何通りあるか．

(ⅰ)　$2$つの$\mathrm{U}$は隣り合わない．

(ⅱ)　$2$つの$\mathrm{U}$の間に$2$つの文字が入る．

(ⅲ)　$\mathrm{J}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{T}$はこの順に並ぶ．

【６】　空間内に点$\mathrm{A}(3,7,5)$と$\overrightarrow{a}=(1,2,2)$がある．点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{a}$に垂直な平面$\alpha$上に点$\mathrm{P}(x,y,z)$をとるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x\text{，}y\text{，}z$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(ⅱ)　原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろすとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　平面$\alpha$と球面$x^2+y^2+z^2=225$が交わってできる円の半径を求めよ．