2015　東北学院大学　前期分割文，経済，教養学部2月3日MathJax

【１】　$2$次関数$y=f(x)$のグラフが，$3$点$(a,0)\text{，}(3a,0)\text{，}(0,-3a^2)$を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は$0$でない定数である．

(ⅰ)　関数$f(x)$を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　$|x-a|\leqq 2\left|a\right|$のとき，関数$f(x)$の最小値と最大値を求めよ．

(ⅲ)　$f(\alpha )=f(\beta )$となる$\alpha \text{，}\beta$に対して，$\alpha +\beta$の値を求めよ．ただし，$\alpha \ne \beta$とする．

【２】　$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$のとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$|\cos \mathrm{\theta }-{\displaystyle \frac{1}{2}}|={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$\theta$を求めよ．

(ⅱ)　$4+2(\sqrt{3}-1)(1+{\tan }^2\theta )\cos \theta =\sqrt{3}(1+{\tan }^2\theta )$を満たす$\theta$を求めよ．

【３】　$3$次関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$が次の(ア)，(イ)を満たすとする．

(ア)　多項式$a{x}^3+b{x}^2+cx+d$は$2x-1$で割り切れ，$x+2$で割ると$10$余る．

(イ)　関数$f(x)$は$x=-1$のとき，極値$54$をとる．

　このとき，定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

【４】　座標平面上の四角形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$の中点の座標がそれぞれ$(0,1)\text{，}(2,3)$であり，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点の座標が$(1,0)$であるとき，辺$\mathrm{AD}$を$1:2$に内分する点の座標を求めよ．

【５】　$9$枚の赤色のカードに$1$から$9$までの数字がひとつずつ書かれている．また$9$枚の青色のカードにも$1$から$9$までの数字がひとつずつ書かれている．赤色のカードと青色のカードから$1$回につきそれぞれ$1$枚ずつ取っていき，取ったカードは戻さないものとする．このとき次の確率を求めよ．

(ⅰ)　$1$回目に同じ数字のカードを取る確率

(ⅱ)　$9$回取るとき，同じ数字のカードをちょうど$6$回取る確率

【６】　自然数$n$に対し，$3^n$の一の位の数を$a_n$とし，一般項を$a_n$とする数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　$a_{2015}$を求めよ．

(ⅲ)　$S_n\geqq 2015$を満たす最小の$n$の値を求めよ．