2015　東北学院大学　後期文,法,経済,経営,教養学部3月4日MathJax

【１】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，

$\mathrm{BC}=4\text{，}\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=90\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{BAD}=60\mathrm{°}$

である．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　辺$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　$\angle \mathrm{BCD}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(ⅳ)　三角形$\mathrm{BCD}$の面積を求めよ．

【２】　$2$次関数

$y=a{x}^2+bx+c\cdots \text{(1)}$

のグラフが，点$(2,2)$を頂点とし原点$\mathrm{O}$を通る放物線であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　定数$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(ⅱ)　関数(1)のグラフを$x$軸方向に$-3\text{，}y$軸方向に$6$平行移動した放物線と$x$軸との交点の座標を求めよ．

(ⅲ)　$r>0$とし，$-r\leqq x\leqq 2r$における関数(1)の最大値を$M(r)\text{，}$最小値を$m(r)$とするとき，$M(r)+m(r)=0$となる$r$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3+3x^2-3x+1$が$x=\alpha \text{，}\beta$で極値をとるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\alpha }^2+{\beta }^2$の値を求めよ．

(ⅱ)　$f(\alpha )$を$\alpha$の$1$次式で表せ．

(ⅲ)　$2$点$(\alpha ,\mathrm{f.}(\alpha ))\text{，}(\beta ,f(\beta ))$を通る直線の方程式を求めよ．

【４】　連立方程式

について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　(1)を用いて$y$を$x$で表せ．

(ⅱ)　(2)において$t={\log }_{2}x$とおき，(ⅰ)で求めた結果を用いて$t$が満たす方程式を求めよ．

(ⅲ)　$x\text{，}y$の値を求めよ．

【５】　赤玉，白玉，青玉がそれぞれ$2$個ずつ計$6$個ある．これらを$1$列に並べるとき，次のように並ぶ確率を求めよ．

(ⅰ)　両端が赤玉である．

(ⅱ)　同じ色の球は，すべて隣り合う．

(ⅲ)　同じ色の球どうしは，隣り合わない．

【６】　次の数列の一般項を$a_n$とする．

$1^2\text{，}{1}^2-2^2+3^2\text{，}{1}^2-2^2+3^2-4^2+5^2\text{，}{1}^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+7^2\text{，}\cdots$

(ⅰ)　$a_n$を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和$S$を求めよ．