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2015-13331-0201
2015 学習院大学 理学部
40点
2月8日実施
易□ 並□ 難□
【1】 大小 2 つのサイコロと 1 枚のコインを同時に投げ,大小のサイコロの目をそれぞれ a , b とする.さらに,コインが表なら c =1 とし,コインが裏なら c =-1 とする.このとき 2 次方程式
x2 +a⁢x +b⁢c =0
の 2 つの解を α , β とする.
(1) α と β が実数である確率を求めよ.
(2) α と β が実数であり,かつ | α| +|β | が整数である確率を求めよ.
2015-13331-0202
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
【2】 等式
( x 23 ) log3⁡ x= (9 ⁢x5 ) logx ⁡3
を満たす実数 x をすべて求めよ.
2015-13331-0203
【3】 関数
f⁡( x)= log ⁡xx ( x>0 )
を考える.
(1) x が正の実数全体を動くとき, f⁡( x) の最大値と,最大値を与える x の値を求めよ.
(2) 曲線 y =f⁡( x) の変曲点の座標を求めよ.
(3) 不等式
∫ 1nf ⁡(x )⁢d x>2
を満たす最小の自然数 n を求めよ.ただし,自然対数の底 e は 2.7 <e<2.8 を満たすことを用いてよい.
2015-13331-0204
【5】との選択
30点
【4】 a>0 とする.複素平面上で等式
|z -i⁢a |= z -z‾ 2⁢ i
を満たす点 z 全体の表す図形を C とする.ただし, i は虚数単位で, z‾ は z と共役な複素数を表す.
(1) z=x+ i⁢y と表すとき, C の方程式を y =f⁡( x) の形で表せ.
(2) C 上の点 z で
|z -(2 +2⁢i )| =|z +(2 +2⁢i ) |
を満たすものを求めよ.
2015-13331-0205
【4】との選択
【5】 2 次正方行列
A=( 3 -1 4- 2)
に対して,数列 { xn }, { yn } を
( x1 y1 ) =( 1 1) , ( xn+1 yn+1 ) =A⁢ ( xn yn )+( 1 4 ) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
で定める.
(1) ( x2 y2 ) ,( x 3 y3 ) ,( x 4 y4 ) を求めよ.
(2) 一般項 xn ,y n をそれぞれ n の式で表せ.