2015　学習院大学　理学部MathJax

【１】　大小$2$つのサイコロと$1$枚のコインを同時に投げ，大小のサイコロの目をそれぞれ$a\text{，}b$とする．さらに，コインが表なら$c=1$とし，コインが裏なら$c=-1$とする．このとき$2$次方程式

$x^2+ax+bc=0$

の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．

(1)　$\alpha$と$\beta$が実数である確率を求めよ．

(2)　$\alpha$と$\beta$が実数であり，かつ$\left|\alpha \right|+\left|\beta \right|$が整数である確率を求めよ．

【２】　等式

${\left({\displaystyle \frac{x^2}{3}}\right)}^{{\log }_{3}x}={(9x^5)}^{{\log }_{x}3}$

を満たす実数$x$をすべて求めよ．

【３】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$

を考える．

(1)　$x$が正の実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．

(3)　不等式

${\displaystyle {\int }_1^n}f(x)dx>2$

を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，自然対数の底$e$は$2.7<e<2.8$を満たすことを用いてよい．

【４】　$a>0$とする．複素平面上で等式

$|z-ia|={\displaystyle \frac{z-\bar{z}}{2i}}$

を満たす点$z$全体の表す図形を$C$とする．ただし，$i$は虚数単位で，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す．

(1)　$z=x+iy$と表すとき，$C$の方程式を$y=f(x)$の形で表せ．

(2)　$C$上の点$z$で

$|z-(2+2i)|=|z+(2+2i)|$

を満たすものを求めよ．

【５】　$2$次正方行列

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 4& -2\end{array}\right)$

に対して，数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$を

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ y_3\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_4\\ y_4\end{array}\right)$を求めよ．

(2)　一般項$x_n\text{，}{y}_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．