2015　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】(1)(ⅰ)　$f(x,y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると，$(x+\boxed{\text{(1)}}y+\boxed{\text{(2)}})(\boxed{\text{(3)}}x+\boxed{\text{(4)}}y-\boxed{\text{(5)}})$である．

(ⅱ)　$f(x,y)=56$を満たす自然数$x\text{，}y$の値は，$x=\boxed{\text{(6)}}\text{，}y=\boxed{\text{(7)}}$である．

【１】(2)　$xy$平面上の$2$直線$y=x+4\sin \theta +1\text{，}y=-x+4\cos \theta -3$の交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$\theta$は実数とする．

(ⅰ)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標は$(\sqrt{\boxed{\text{(8)}}}-\boxed{\text{(9)}},\sqrt{\boxed{\text{(10)}}}-\boxed{\text{(11)}})$である．

(ⅱ)　$\theta$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は

$x^2+y^2+\boxed{\text{(12)}}x+\boxed{\text{(13)}}y-\boxed{\text{(14)}}=0$

である．

【１】(3)　$2$次関数$f(x)$は，すべての実数$x$について

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt=xf(x)-{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^3+a{x}^2$

を満たす．ただし，$a$は実数である．また，$f(0)=a^2-a-6$である．このとき，

(ⅰ)　$f(x)=\boxed{\text{(15)}}{x}^2-\boxed{\text{(16)}}ax+(a+\boxed{\text{(17)}})(a-\boxed{\text{(18)}})$である．

(ⅱ)　方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{(19)(20)}}<a\leqq \boxed{\text{(21)}}+\sqrt{\boxed{\text{(22)(23)}}}$

である．

【１】(4)　$\{a_n\}$は，数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である．

$\{a_n\}\text{：}1,2,11,12,22,111,\cdots$

このとき，

(ⅰ)　$a_{10}=\boxed{\text{(24)(25)(26)}}\text{，}{a}_{15}=\boxed{\text{(27)(28)(29)(30)}}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=7}^{14}}{a}_k=\boxed{\text{(31)(32)(33)(34)}}$である．

(ⅲ)　$\{a_n\}$のうち，$m$桁である項の総和は${\displaystyle \frac{{\boxed{\text{(35)}}}^{m-1}\{{(\boxed{\text{(36)(37)}})}^m-\boxed{\text{(38)}}\}}{\boxed{\text{(39)}}}}$である．

【２】　$xy$平面上に放物線$P\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$と直線$l\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}(a^2-1)$がある．ただし，$a$は$0<a<\sqrt{33}$を満たす実数である．$P$と$l$は異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わり，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$x_{\mathrm{A}}\text{，}{x}_{\mathrm{B}}$とおくと，$x_{\mathrm{A}}<x_{\mathrm{B}}$である．

　次に線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とし，線分$\mathrm{CD}$が$(0,8)$を通る長方形$\mathrm{ABDC}$をおく．長方形$\mathrm{ABDC}$の面積を$S(a)$とする．このとき，

(1)　$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を結ぶ直線の傾きは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}}}}$であり，線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$を用いて表すと$\sqrt{\boxed{\text{(42)}}}a$である．

(2)　$S(a)$を$a$の式で表すと

$S(a)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(43)(44)}}}{\boxed{\text{(45)}}}}{a}^3+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(46)(47)}}}{\boxed{\text{(48)}}}}a$

である．

　また，$S(a)$が最大値をとるとき，$a$の値は$\sqrt{\boxed{\text{(49)(50)}}}$である．

(3)　放物線$P$と直線$l$で囲まれた部分の面積が，$S(a)$の$3$倍であるとき，$a$の値は$\boxed{\text{(51)}}\sqrt{\boxed{\text{(52)}}}$である．

【３】　$a$は$2^{2{\log }_{4}48-{\log }_2\frac{3}{4}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．このとき，

(1)　$a$の値を整数で表すと$\boxed{\text{(53)(54)}}$である．

(2)　$a^{30}$は$\boxed{\text{(55)(56)}}$桁の数である．

(3)　$b$は，$b^{50}$を小数で表すと小数第$25$位に初めて$0$でない数字が現れる正の数である．このとき${\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^4$を小数で表すと，小数第$\boxed{\text{(57)(58)}}$位に初めてでない数字が現れる．

【４】　ボタンを$1$回押すたびに$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$のいずれかの数字が$1$つ画面に表示される機械がある．このうちの$1$つの数字$\mathrm{Q}$が表示される確率は${\displaystyle \frac{1}{k}}$であり，$\mathrm{Q}$以外の数字が表示される確率はいずれも等しいとする．ただし，$k$は$k>6$を満たす自然数とする．

　ボタンを$1$回押して表示された数字を確認する試行を繰り返すとき，$1$回目に$4$の数字，$2$回目に$5$の数字が表示される確率は，$1$回目に$5$の数字，$2$回目に$6$の数字が表示される確率の${\displaystyle \frac{8}{5}}$倍である．このとき，

(1)　$\mathrm{Q}$は$\boxed{\text{(59)}}$であり，$k$は$\boxed{\text{(60)}}$である．

(2)　この試行を$3$回繰り返すとき，表示された$3$つの数字の和が$16$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(61)(62)(63)}}}{\boxed{\text{(64)(65)(66)(67)}}}}$である．

(3)　この試行を$500$回繰り返すとき，そのうち$\mathrm{Q}$の数字が$n$回表示される確率を$P_n$とおくと，$P_n$の値が最も大きくなる$n$の値は$\boxed{\text{(68)(69)}}$である．