2015　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．

(1)　$2$次方程式$x^2+kx+k+8=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta$をもつとする．このとき，定数$k$の値の範囲は$k<\boxed{\text{(ア)}}$または$k>\boxed{\text{(イ)}}$である．さらに，このとき${\alpha }^2+{\beta }^2=19$となるような定数$k$の値は$k=\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．

(2)　$xyz$空間の$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,0,0)\text{，}\mathrm{C}(0,\sqrt{3},0)$を$3$頂点とする三角形を底面にもち，$z\geqq 0$の部分にあたる正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{D}$の座標は$\boxed{\text{(エ)}}$である．また$4$頂点において正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心$\mathrm{E}$の座標は$\boxed{\text{(オ)}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$のなす角を$\theta \text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}\text{）}$とすると$\cos \theta =\boxed{\text{(カ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．

(3)　$n$を自然数とする．白玉$5$個と赤玉$n$個が入っている袋から同時に玉を$2$個取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を$p_n$とする．このとき$p_n=\boxed{\text{(キ)}}$である．また$p_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{5}}$となる最小の自然数$n$は$n=\boxed{\text{(ク)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　多項式$f(x)=5x^3-12x^2+8x+1$を$x-1$で割ったときの商$g(x)$は$g(x)=\boxed{\text{(ケ)}}$であり，余りは$\boxed{\text{(コ)}}$である．また，$g(x)$を$x-1$で割ったときの余りは$\boxed{\text{(サ)}}$である．

　さらに，定数$\boxed{\text{(コ)}}\text{，}\boxed{\text{(サ)}}\text{，}\boxed{\text{(シ)}}\text{，}\boxed{\text{(ス)}}$を用いると，$x$についての恒等式

${\displaystyle \frac{f(x)}{{(x-1)}^4}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(コ)}}}{{(x-1)}^4}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(サ)}}}{{(x-1)}^3}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(シ)}}}{{(x-1)}^2}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ス)}}}{x-1}}$

が成り立つ．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が

$5\overrightarrow{\mathrm{OA}}+6\overrightarrow{\mathrm{OB}}=-7\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

を満たすとする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{(セ)}}$であり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\boxed{\text{(ソ)}}$である．また$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを$\theta$$\text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}\text{）}$とすると$\sin \theta =\boxed{\text{(タ)}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

　$A$を与えられた自然数として，

$a_1=3A\text{，}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n-2& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\\ a_n-1& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\end{array}$

によって定まる数列$\{a_n\}$を考える．

(1)　$a_5\text{，}{a}_6$を$A$を用いて表すと，$a_5=\boxed{\text{(チ)}}\text{，}{a}_6=\boxed{\text{(ツ)}}$である．また一般に，$a_n$を$n$と$A$を用いて表すと，

$a_n=\{\begin{array}{ll}\boxed{\text{(テ)}}& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\\ \boxed{\text{(ト)}}& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\end{array}$

となる．

(2)　$a_n>0$となる最大の自然数$n$を$N$とする．$N$を$A$を用いて表すと$N=\boxed{\text{(ナ)}}$であり，また${\displaystyle \sum _{n=1}^N}{a}_n=\boxed{\text{(ニ)}}$である．

【４】　関数$y=\sin \theta \cos \theta -\sin \theta +\cos \theta$について考える．以下に答えなさい．

(1)　$t=\cos \theta -\sin \theta$とおくとき，$y$を$t$の式で表しなさい．

(2)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$t$の動く範囲を求めなさい．

(3)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$y$の最大値，最小値と，それらを与える$\theta$の値をそれぞれ求めなさい．

【５】　 $f(x)=(x-1)|x-3|-4x+12$とする．また，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(1,f(1))$における接線を$l$とする．以下に答えなさい．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　直線$l$の方程式を求めなさい．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$l$の点$\mathrm{P}$以外の共有点$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

(4)　曲線$y=f(x)$と直線$l$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．