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2015 慶応義塾大学 経済学部

2月13日実施

易□ 並□ 難□

【1】  c を定数とし,数列 { an }

an = c+ k =1n 2k 2n n=1 2 3

で定める.

(1) 数列 { an } は漸化式

an+ 1= (1) + an (2) n=1 2 3

を満たす.

(2)  an n の式で表すと

an =2- (3) -c 2n n=1 2 3

となる.ゆえに, c= (4) のとき数列 { an } は公比 1 の等比数列になる.

(3)  c=1 とする. an 1.99 を超えない最大の n (5) である.

(4)  c=- 38 とする.自然数 N に対して, n= 1N an の値は N =(6) のとき最小値 (7) (8) (9) (10) をとる.

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2月13日実施

易□ 並□ 難□

【2】 硬貨を 1 枚投げて表が出れば A 1 点,裏が出れば B 1 点を与えることを繰り返す.硬貨を 5 回投げ終わった時点で A の得点は 3 点, B の得点は 2 点であった.なお,硬貨は表裏が等しい確率で出るものとする.

(1)  6 回目以降, A B のどちらかが 5 点を取るまでの各回の得点の与え方を樹形図で表すと,その場合の数は (11) (12) 通りであることがわかる.そして, A B より先に 5 点を取る確率は (13) (14) (15) (16) である.

(2)  6 回目以降の各回の得点の与え方を次のように変更する. A 1 3 5 と書かれたカードをそれぞれ 1 枚ずつ入った袋から, B 2 4 と書かれたカードが 1 枚ずつ入った袋から,中を見ずに 1 枚取り出し,大きい数字の書かれたカードを取り出した方に 1 点を与える.このとき,各回ごとに A が得点する確率は (17) (18) であり, A が先に 5 点を取る確率は (19) (20) (21) (22) である.

(3)  6 回目以降について, A の袋は(2)と同じとし, B の袋には 6 と書かれたカードを 1 枚追加して,(2)と同様に各回の得点の与え方を定める.このとき A が先に 5 点を取る確率は (23) (24) (25) (26) である.

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2月13日実施

易□ 並□ 難□

【3】 実数 θ - π2 θ π 2 を満たすとする. O (0 ,0,0 ) を原点とする座標空間の 3

A ( cos2 θ,sin θ,1+ sin2 θ) B (sin θ,0 ,-sin θ) C ( 1,cos 2θ- cos2 θ,1 )

に対し,それぞれ a= OA b =OB c =OC とおく.

(1)  b は零ベクトルではないとする. 4 O A B C が同一平面上にあるならば, θ= (27) (28) (29) π である.

次に θ =π 6 とし,以下このときの 3 A B C を考える.また, 3 O B C の定める平面を α とする.

(2) 点 P α 上の点で, |AP | が最小になるものとする.このとき,

AP b = (30) AP c =(31)

が成り立つ.また, OP b c を用いて表すと

OP = (32) (33) (34) b + (35) (36) (37) (38) c

となる.ただし, u v はベクトル u v の内積を表す.

(3) 三角形 OBC の面積は 18 (39) (40) (41) であり, | AP |= (42) (43) (44) なので,四面体 OABC の体積は (45) (46) となる.

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2月13日実施

易□ 並□ 難□

【4】 企業 X n 個の新製品を同時に開発しており,各新製品の開発に成功する確率は 19 である.すべての開発の結果が出た後に企業 X が存続できるための必要十分条件は, n 個のうち 1 個以上の新製品の開発に成功していることである.ただし,各新製品の開発は独立な試行であるとする.企業 X n 個の新製品すべての開発に失敗する確率を pn また企業 X が存続できる確率を q n とする.以下では, log10 2=0.3010 log10 3= 0.4771 として計算せよ.

(1)  pn qn をそれぞれ n を用いて表せ.

(2)  qn 0.9 を満たす最小の自然数 n を求めよ.

(3)  k 1000< q50< k +11000 を満たす自然数 k を求めよ.

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2月13日実施

易□ 並□ 難□

【5】 方程式 y =|x | を満たす座標平面上の点 ( x,y ) 全体の集合 B

B={ (x, y) | (x ,y) は方程式 y=| x| を満たす}

と表す.同様に,集合 Cr( a,b ) D をそれぞれ

Cr( a,b) ={( x,y) | (x ,y) は方程式 (x -a) 2+ (y-b )2 =r2 を満たす}

D={ (x, y) | ( x,y ) は不等式 y| x| を満たす}

で定める.ただし, a b は実数, r は正の実数とする.

(1) 集合 B Cr (1, 2) 2 個の要素からなるように, r の値の範囲を定めよ.

(2)  C2 2 (a, b) D が成り立つような点 ( a,b ) 全体の集合を斜線で図示せよ.

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2月13日実施

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【6】  a b c を実数とする. x の関数

F( x)= x3+ ax2 +b x+c

x =α で極大になり, x=β で極小になるとする.曲線 y =F (x ) 上の点 B ( β,F (β )) における接線を l とし, l y=F ( x) の共有点のうち B と異なるものを ( γ,F ( γ) ) とする.

(1)  x の整式 F (x )-F (β ) を, β γ を用いて 1 次式の積に因数分解された形で表せ.

(2)  γ α β のみを含む式で表せ.必要ならば x の整式で表される関数 p (x ) q( x) とそれらの導関数に関して成り立つ公式

{p (x )q (x )} =p (x )q (x )+p (x )q ( x)

を用いてもよい.

(3)  f( x)= F (x ) とする.直線 x =γ x 軸,および曲線 y =f (x ) で囲まれた図形のうち y 0 となる部分の面積 S を, α β のみを含む式で表せ.さらに, a-b 32 が成り立つとき, S の最小値を求めよ.

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