2015　上智大学　TEAP文系2月3日実施MathJax

【１】

(1)　$3$次関数$y=4x^3-12x+1\text{（}-1\leqq x\leqq \sqrt{3}\text{）}$のグラフを$G$とする．$k$を実数とし，直線$l\text{：}y=-3x+k$を考える．$l$と$G$が異なる$2$つの共有点をもつための必要十分条件は，

$k=\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$

または

$\boxed{\text{エ}}+\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}<k<\boxed{\text{キ}}$

である．

【１】

(2)　不等式$9^{{\log }_{3}x}-3\cdot 2^{({\log }_{2}x+2)}+3^3>0$の解は，$\boxed{\text{ク}}<x<\boxed{\text{ケ}}$または$\boxed{\text{コ}}<x$である．

【１】

(3)　右図のような道がある．

(ⅰ)　$\mathrm{C}$を経由して，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$\boxed{\text{サ}}$通りである．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$\boxed{\text{シ}}$通りである．

【２】(1)　不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=\boxed{\text{ス}}\text{，}y=\boxed{\text{セ}}$である．

(2)　$25\mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$\boxed{\text{ソ}}$通，簡易書留は$\boxed{\text{タ}}$通である．

(3)　$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$\boxed{\text{チ}}$であり，そのような組合せは$\boxed{\text{ツ}}$通りある．

　この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$\boxed{\text{テ}}$枚，$205$円切手が$\boxed{\text{ト}}$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$\boxed{\text{ナ}}$枚，$205$円切手が$\boxed{\text{ニ}}$枚のときである．

【３】　ある工場では製品$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$を生産している．それらを生産するには，原料$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が必要である．$\mathrm{X}$を$1\mathrm{kg}$生産するためには，$\mathrm{A}$が$1\mathrm{kg}\text{，}\mathrm{B}$が$4\mathrm{kg}\text{，}\mathrm{C}$が$1\mathrm{kg}$必要である．$\mathrm{Y}$を$1\mathrm{kg}$生産するためには，$\mathrm{A}$が$3\mathrm{kg}\text{，}\mathrm{B}$が$3\mathrm{kg}\text{，}\mathrm{C}$が$2\mathrm{kg}$必要である．原料の在庫はそれぞれ，$\mathrm{A}$が$23\mathrm{kg}\text{，}\mathrm{B}$が$47\mathrm{kg}\text{，}\mathrm{C}$が$c\mathrm{kg}$である．また，$\mathrm{X}$を生産すると$1\mathrm{kg}$あたり$p$万円，$\mathrm{Y}$を生産すると$1\mathrm{kg}$あたり$q$万円の利益がある．ただし，$c>0\text{，}p>0\text{，}q>0$とする．以下，在庫にある原料のみを用いて生産を行うものとする．

(1)　$c=17\text{，}p=2\text{，}q=5$のとき，$\mathrm{X}$を$\boxed{\text{ヌ}}\mathrm{kg}\text{，}\mathrm{Y}$を$\boxed{\text{ネ}}\mathrm{kg}$生産すれば，最大の利益を得る．

(2)　$c=17$のとき，最大の利益を得る$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量の組がただ一つに定まるための必要十分条件を${\displaystyle \frac{p}{q}}$の値を用いて表すと，

$0<{\displaystyle \frac{p}{q}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$または${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}<{\displaystyle \frac{p}{q}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$

または${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}<{\displaystyle \frac{p}{q}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$または${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}<{\displaystyle \frac{p}{q}}$

である．ただし，$0<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}$とする．

(3)　$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量にかかわらず原料$\mathrm{C}$が余るための必要十分条件を$c$の値を用いて表すと，$c>\boxed{\text{ユ}}$である．