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2015 上智大学 TEAP理系

2月3日実施

易□ 並□ 難□

【1】 (1)(ⅰ)  a>0 a0 M>0 である実数 a M に対し, a を底とする M の対数 loga M の定義を述べよ.

(ⅱ)  a>0 b>0 c>0 c0 c1 である実数 a b c に対し,底の変換公式

loga b= logc blog ca

が成り立つことを示せ.

(2) 正の実数 x の自然対数 log x

logx = 1x 1 t d t

と表される.これを用いて,正の実数 x y に対し

log( xy) =logx+ logy

が成り立つことを示せ.

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【2】 座標平面上で 2 つのベクトル

p =( p,0 ) q =( q,0 )

を考える.ただし, 0<p <1 q> 1 とする. x を単位ベクトルとして,以下の問に答えよ.

(1) 任意の x について, x x- p は直交しないことを示せ.

(2)  x x- q が直交するとき, |x - q | q を用いて表せ.

(3)  p q が次の条件をみたすとする.

条件:任意の x について | x -q |: |x - q |=1 :2 となる.

(ⅰ)  p および q の値を求めよ.

(ⅱ)  x x- q が直交するとき,原点を始点として x p q を図示せよ.

(ⅲ) 実数 a に対して,

s = x -p | x -p |3 -a x- q | x- q |3

とおく.任意の x について, x s が平行となるときの a の値を求めよ.

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【3】(1)  x= 3+5 2 とする.

x2 + x+ =0

である.また, y=x 2 とするとき,

y2 + y+ = 0

である. x3 =ax +b となる整数 a b

a= b=

である.

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【3】(2)  θ を実数とするとき,

cos3 θ= cos3 θ+ cos θ

cos5 θ= cos5 θ+ cos3 θ + cosθ

である.

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【3】(3)  a>1 とする.数列

a,1 |a2 ,a,1 |a3 ,a2, a,1 | 1 2 3

において,例えば,第 3 群第 1 項は a 3 であり,これは最初から数えて第 6 項である. a12 が初めて現れるのは最初から数えて第 項である.また最初から数えて第 645 項は第 項である.

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【3】(4) 次のa,b,cのように, 2 つの試行を連続して行った結果それぞれ事象 A と事象 B が起こった. 2 つの試行が独立なものの組み合わせとして最もふさわしいものを一つ選べ.

a. 赤い玉が 4 個,白い玉が 4 個入った袋がある.

A :玉を 1 個取り出したところ白だった.

B :最初の試行で取り出した玉を戻した後, 1 個取り出したところ白だった.

b.  30 人のクラスがある.

A :無作為に選んだ X さんの誕生日が 1 1 日である.

B :その次に無作為に選んだ Y さんの誕生日が 1 1 日である.

c.  5 つの扉があり,それぞれの後ろに猫が一匹いる.猫は黒猫が 3 匹,白猫が 2 匹であり,その場から動かないものとする.

A 1 つ目の扉を開けたところ,黒猫がいた.

B 1 つ目の扉を閉じた後,別の扉を開けたところ,白猫がいた.

選択肢:

  • 1. a
  • 2. b
  • 3. c
  • 4. ab
  • 5. ac
  • 6. bc
  • 7. abc
  • 8. なし

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