2015　上智大学　文(哲),外国語(独,葡)学部2月5日実施MathJax

【１】

(1)　関数$f(x)\text{，}g(x)$が次の$2$つの式を満たしている．ただし，$a$は定数とする．

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_1^x}f(t)dt=xg(x)-2ax+2\\ g(x)=x^2-x{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt-3\end{array}$

このとき，$a=\boxed{\text{ア}}$であり，

$f(x)=\boxed{\text{イ}}{x}^2+\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}}$

である．

【１】

(2)　$c(n)={\displaystyle \frac{3n^2+174n+231}{n^2+3n+2}}$とおく．$c(n)$が整数となるような自然数$n$は$\boxed{\text{オ}}$個存在する．また，これら$\boxed{\text{オ}}$個の自然数のうちで最も大きいものを$n^{*}$と表すと，$n^{*}=\boxed{\text{カ}}\text{，}c(n^{*})=\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　座標平面上の点$(\alpha ,1)\text{（}\alpha >0\text{）}$を中心とする円$C$と放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$が共に点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2)$で直線$l$と接している．

(1)　$\alpha$を$t$の式で表すと

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}{t}^3$

である．

以下では，$C$が$x$軸と接する場合を考える．$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{H}$とする．

(2)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．

(3)　$l$の方程式は

$y=\sqrt{\boxed{\text{ス}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．

(4)　$C$の弧$\mathrm{PH}$のうちの短い方と放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\pi$

である．

【３】　$t$を実数とする．座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(t,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1-\sqrt{3}t)$と，原点を中心とする半径$1$の円$C$がある．点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くときの$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積の最大値を$M_t$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=M_t$となる点$\mathrm{P}$を${\mathrm{P}}_t$と表す．

(1)　$t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$のとき，

$M_t=\boxed{\text{ナ}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}}$

であり，${\mathrm{P}}_t$の座標は$(\boxed{\text{ヌ}},\boxed{\text{ネ}})$である．

(2)　実数$t$が$t\geqq 0$の範囲を動くとき，$M_t$は$t={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$で最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$をとる．

(3)　${\mathrm{P}}_t$の座標を$(\cos \theta ,\sin \theta )$（ただし，$0\leqq \theta <2\pi$）と表す．実数$t$が$t\geqq 0$の範囲を動くとき，$\theta$は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\pi <\theta <{\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}\pi$

の範囲を動く．