2015　上智大学　総合人間(社会福祉),法(地球),経済(経営)学部月7日実施MathJax

【１】

(1)　座標平面において，$1$次関数$y=4x+2$が表す直線を$l$とし，$l$上に点$\mathrm{P}(1,6)$をとる．また，$2$次関数$y=f(x)$が表す放物線を$C$とする．

(ⅰ)　$C$が点$\mathrm{P}$で$l$と接し，かつ$C$が点$(0,1)$を通るとき，

$f(x)=\boxed{\text{ア}}{x}^2+\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}$

である．

(ⅱ)　$C$が点$\mathrm{P}$で$l$と接するとき，$C$の頂点は直線

$y=\boxed{\text{エ}}x+\boxed{\text{オ}}$

上に存在する．

【１】

(2)　複素数$z$の虚部を$\mathrm{Im}(z)$で表すことにする．$2$次方程式$x^2-4x+9=0$の異なる$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とし，$x^2-2x+2=0$の異なる$2$つの解を${\alpha }^{\prime }\text{，}{\beta }^{\prime }$とする．ただし，$\mathrm{Im}(\alpha )>\mathrm{Im}(\beta )$および$\mathrm{Im}({\alpha }^{\prime })>\mathrm{Im}({\beta }^{\prime })$とする．このとき，$2$数${\displaystyle \frac{\alpha }{{\alpha }^{\prime }}}\text{，}{\displaystyle \frac{\beta }{{\beta }^{\prime }}}$を解とする$2$次方程式の$1$つは，

$x^2+(\boxed{\text{カ}}+\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}})x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}=0$

である．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=1\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1$を満たす点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を考え，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，$\mathrm{AB}>\mathrm{AP}$とする．

(1)　$\mathrm{OP}\perp \mathrm{AB}$のとき，$\mathrm{OP}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

(2)　$▵\mathrm{OBP}$が二等辺三角形であるとき，

${\mathrm{OP}}^2=1\text{，}\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}\text{，}$

または

${\mathrm{OP}}^2=\boxed{\text{タ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}\text{，}$

$\mathrm{AP}=\boxed{\text{ト}}+\sqrt{\boxed{\text{ナ}}\text{，}}$

または

${\mathrm{OP}}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\text{，}\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$

である．ただし，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}<\boxed{\text{ト}}+\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$

とする．

(3)　座標空間に，$\mathrm{OC}=2\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$を満たす点$\mathrm{C}$をとる．$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CQ}$を下ろす．このとき，$\mathrm{CQ}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}{\boxed{\text{フ}}}}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

【３】　$1$個のさいころを$2$回投げ，$1$回目に出た目を$m\text{，}2$回目に出た目を$n$とする．ここで，さいころの$1$から$6$までのそれぞれの目が出る確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$である．

　さいころの出た目にもとづいて，座標平面に$3$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(\cos {\displaystyle \frac{n\pi }{m}},\sin {\displaystyle \frac{n\pi }{m}})\text{，}\mathrm{C}(0,-1)$をとり，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．ただし，点$\mathrm{B}$が点$\mathrm{A}$または点$\mathrm{C}$と一致する場合は$S=0$とする．

(1)　$S$がとりうる値は，$0$を含めて全部で$\boxed{\text{マ}}$通りある．

(2)　$S$がとりうる値のうち，小さい方から$k$番目の値を$s_k$とする．このとき，$s_1=0\text{，}{s}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}+\sqrt{\boxed{\text{ム}}}}{\boxed{\text{メ}}}}\text{，}{s}_4={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{モ}}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}$である．また，$S=s_2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}\text{，}S=s_4$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}$である．