2015　上智大学　理工学部2月8日実施MathJax

【１】

(1)　${\displaystyle \frac{5}{6}}<{\log }_{10}7<{\displaystyle \frac{6}{7}}$であることを用いると，$7^{42}$は$\boxed{\text{ア}}$桁の整数であることがわかる．さらに，$7^2<50$であることと${\log }_{10}2>{\displaystyle \frac{3}{10}}$であることを用いると，${\log }_{10}7<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$であることがわかり，これより，$7^{41}$は$\boxed{\text{エ}}$桁の整数であることがわかる．

【１】

(2)　${\log }_{10}15$に最も近い値は$\boxed{\text{あ}}$であり，${\log }_{10}17$に最も近い値は$\boxed{\text{い}}$であり，${\log }_{10}19$に最も近い値は$\boxed{\text{う}}$である．ただし，近似値として，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$を用いてよい．

【２】　$a$を正の実数とし，関数$f(x)=\sin x+a\sin 3x$を考える．

(1)　$a=2$のとき，

$f(x)=\boxed{\text{オ}}\sin x+\boxed{\text{カ}}{\sin }^{n}x\text{，}$ただし$n=\boxed{\text{キ}}\text{，}$

である．

(2)　$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で$f(x)$が最大値をとるときの$a$の範囲は$0<a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

(3)　$a>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$の範囲で，$f(x)$の最大値がもっとも小さくなるのは$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$のときである．

このとき$f(x)$の最大値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$であり，最大値を与える$x$に対して，$\sin x={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

【３】　実数からなる集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を以下のように定義する．

$\mathrm{A}=\left\{x\right|\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}x>-{\displaystyle \frac{1}{7}}x\}$

$\mathrm{B}=\{x|0<x<b\}$

$\mathrm{C}=\{x|x\geqq c\}$

ただし，$b\text{，}c$は正の実数とする．

(1)　$-1\boxed{\text{え}}\mathrm{A}$である．また，$5\boxed{\text{お}}\mathrm{A}$である．

(2)　$\mathrm{B}\cap \mathrm{C}$が空集合であるための必要十分条件は$\boxed{\text{か}}$である．

(3)　$\mathrm{A}\supset \mathrm{B}$となる$b$のうち，整数で最大のものは$\boxed{\text{タ}}$である．また，$\mathrm{A}\supset \mathrm{C}$となる$c$のうち，整数で最小のものは$\boxed{\text{チ}}$である．

(4)　$\mathrm{S}$は実数からなる集合とする．「集合$\mathrm{S}$が連結である」とは，「$\mathrm{S}$のどの$2$つの要素$x\text{，}y$に対しても，

条件：実数$z$が$x<z<y$を満たすならば$z\in \mathrm{S}$が成り立つ」ことである．

$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$が連結であるような$b$のうち，整数で最大のものは$\boxed{\text{ツ}}$である．また，$\mathrm{A}\cap \mathrm{C}$が連結であるような$c$のうち，整数で最小のものは$\boxed{\text{テ}}$である．

【４】　$xyz$空間において，$xy$平面上に$4$点

${\mathrm{A}}_1(1,0,0)\text{，}{\mathrm{B}}_1(0,1,0)\text{，}{\mathrm{C}}_1(-1,0,0)\text{，}{\mathrm{D}}_1(0,-1,0)$

を頂点とする正方形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$がある．$0<\theta <\pi$とし，この正方形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$を$xy$平面上で原点を中心に角$\theta$だけ回転させた後で$z$軸の正の方向に$2$だけ平行移動した正方形を${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2$とする．

動点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$が，それぞれ点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2$から同時に出発し，正方形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2$の周上を，同じ速さで同じ向きに一周する．このとき，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$が動いてできる曲面と正方形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2$とで囲まれる立体を$V$とする．

(1)　線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の長さの最大値は$\sqrt{\boxed{\text{ト}}+\boxed{\text{ナ}}\boxed{\text{き}}}$であり，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の長さの最小値は$\sqrt{\boxed{\text{ニ}}+\boxed{\text{ヌ}}\boxed{\text{く}}}$である．

(2)　$0<h<2$とするとき，平面$z=h$による立体$V$の断面は，一辺の長さが

$\sqrt{\boxed{\text{ネ}}+(\boxed{\text{ノ}}{h}^2+\boxed{\text{ハ}}h)(1-\boxed{\text{け}})}$

の正方形であり，その一辺の長さは$h=\boxed{\text{ヒ}}$のとき最小である．

(3)　立体$V$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}\boxed{\text{こ}}$である．

(4)　$\theta$が$\pi$に限りなく近づくとき，立体$V$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}$に収束する．