2015　上智大学　総合人間,法,外国語学部2月9日実施MathJax

【１】

(1)　数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$3S_n=a_n+2n-1$を満たすならば，

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

【１】

(2)　$t$を実数とする．座標空間において，点$(2t,1,-t)$を通りベクトル$(-1,2,1)$と平行な直線を$l$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(0,2,0)$とする．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$から$l$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき，

${\mathrm{PH}}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}{t}^2+\boxed{\text{ケ}}t+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$を中心とする半径$2$の球面を$S$とする．$S$と$l$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点間の距離は$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$のとき最大値をとる．

【２】　$f(x)=x^3-3x^2-x+3$とし，座標平面上の曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(p,f(p))$における接線を$l$とする．ただし，$p\ne 3$とする．放物線$C\text{：}y=a{x}^2+bx+c$は点$(3,0)$を通り，直線$l$と$\mathrm{P}$で接する．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$をそれぞれ$p$の式で表すと，

$a=\boxed{\text{セ}}p\text{，}b=\boxed{\text{ソ}}{p}^2+\boxed{\text{タ}}p+\boxed{\text{チ}}\text{，}c=\boxed{\text{ツ}}{p}^2+\boxed{\text{テ}}$

である．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{2}}<p<3$とする．$C$およびその下側の部分で，$C$と直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$および$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_1$とおき，$C$およびその上側の部分で，$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．このとき，

$S_1-S_2={\displaystyle \frac{25}{24}}(\boxed{\text{ト}}{p}^2+\boxed{\text{ナ}}p+\boxed{\text{ニ}})$

であり，$S_1=S_2$となる$p$の値は

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$

である．

(3)　$p=1$のとき，

$S_1+S_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$

である．

【３】　$a$を実数とし，$f(x)=(x-a)(x^2-2x-11)$とおく．集合

$\mathrm{A}=\{x|f(x)<0\text{，}x\text{は実数}\}$

を考える．また，$n$を整数とし，集合

${\mathrm{I}}_n=\{x|x>n\text{，}x\text{は実数}\}$

${\mathrm{J}}_n=\{x|x<n\text{，}x\text{は実数}\}$

を考える．

(1)　$a=-4$のとき，${\mathrm{J}}_n\supset \mathrm{A}$となる$n$の最小値は$\boxed{\text{ヘ}}$であり，${\mathrm{J}}_n\subset \mathrm{A}$となる$n$の最大値は$\boxed{\text{ホ}}$である．

(2)　$a=-4\text{，}n=-3$のとき，${\mathrm{I}}_n\cap \mathrm{A}$に含まれる整数の個数は$\boxed{\text{マ}}$個である．

(3)　$a=1$のとき，${\mathrm{I}}_n\cap \mathrm{A}$が空集合でない$n$の最大値は$\boxed{\text{ミ}}$であり，${\mathrm{J}}_n\subset \mathrm{A}$となる$n$の最大値は$\boxed{\text{ム}}$である．

(4)　$a=1$のとき，

$x<x^{\prime }\text{かつ}f(x)>m>f(x^{\prime })$

を満たす実数$x\text{，}{x}^{\prime }$が存在するような整数$m$の最小値は$\boxed{\text{メ}}\text{，}$最大値は$\boxed{\text{モ}}$である．

(5)　$a=7$のとき，${\mathrm{J}}_n\supset \mathrm{A}$となる$n$の最小値は$\boxed{\text{ヤ}}$であり，${\mathrm{J}}_n\subset \mathrm{A}$となる$n$の最大値は$\boxed{\text{ユ}}$である．