2015　東京理科大学　理工学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヨ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．なお，$\boxed{\text{カ}}$などは既出の$\boxed{\text{カ}}$などを表す．

(1)　実数$a$に対し，$2$つの$2$次関数

$f(x)=x^2-2a^{2}x-a^4-2a^2-8$

$g(x)=-x^2+2(a^2-4)x-3a^4-2a^3-16$

を考える．

(a)　すべての実数$x$に対して$g(x)<f(x)$が成り立つための必要十分条件は

$a>-\boxed{\text{ア}}$かつ$a\ne \boxed{\text{イ}}$

である．

(b)　$g(x)$の最大値は$-\boxed{\text{ウ}}{a}^4-\boxed{\text{エ}}{a}^3-\boxed{\text{オ}}{a}^2$である．

(c)　次の条件(＊)を満たす実数$b$がただ$1$つ存在するとする．

(＊)　「すべての実数$x$に対して$g(x)\leqq b\leqq f(x)$が成り立つ．」

このとき，

$a=-\boxed{\text{カ}}$または$a=\boxed{\text{キ}}$

であり，$a=-\boxed{\text{カ}}$のときは$b-\boxed{\text{ク}\text{ケ}}\text{，}a=\boxed{\text{キ}}$のときは$b=-\boxed{\text{コ}\text{サ}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヨ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．なお，$\boxed{\text{カ}}$などは既出の$\boxed{\text{カ}}$などを表す．

(2)　次の条件で定められる数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を考える．

$a_1=1\text{，}{b}_1=-2\text{，}\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=8a_n+b_n\\ b_{n+1}=-25a_n-2b_n\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき

$\boxed{\text{シ}}{a}_{n+1}+b_{n+1}=\boxed{\text{ス}}(\boxed{\text{シ}}{a}_n+b_n)$

であるので，

$b_n={\boxed{\text{セ}}}^n-\boxed{\text{ソ}}{a}_n$

である．これにより

${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{{\boxed{\text{タ}}}^n}}={\displaystyle \frac{a_n}{{\boxed{\text{タ}}}^{n-1}}}+1$

となる．したがって

$a_n=n\cdot {\boxed{\text{チ}}}^{n-\boxed{\text{ツ}}}$

となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヨ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．なお，$\boxed{\text{カ}}$などは既出の$\boxed{\text{カ}}$などを表す．

(3)　平面上に，$▵\mathrm{ABC}$とその内部の点$\mathrm{O}$をとったとき，

$\mathrm{OA}=1+\sqrt{3}$

$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$

$\mathrm{OC}=\sqrt{2}$

$\sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

となっていた．

このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は${\displaystyle \frac{-\boxed{\text{テ}}-\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$であるので

$\angle \mathrm{AOB}=\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}\text{ネ}}\mathrm{°}$

である．同様に$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\boxed{\text{ノ}}-\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$から

$\angle \mathrm{AOC}=\boxed{\text{ヒ}\text{フ}\text{ヘ}}\mathrm{°}$

である．したがって，

$\angle \mathrm{BOC}=\boxed{\text{ホ}\text{マ}\text{ミ}}\mathrm{°}$

となる．また，

$\sin \boxed{\text{ホ}\text{マ}\text{ミ}}\mathrm{°}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ム}}}(\boxed{\text{メ}}+\sqrt{\boxed{\text{モ}}})}{4}}$

である．したがって，$\angle \mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ヤ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}\sqrt{\boxed{\text{ヨ}}}}{2}}$である．

【２】　$a>0$を定数とし，座標平面上の点$\mathrm{P}(p,0)$から放物線$C\text{：}y=a{x}^2+2a$に$2$本の接線${\mathrm{PQ}}_1\text{，}{\mathrm{PQ}}_2$を引く．ここで${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$は接点で，${\mathrm{Q}}_1$の$x$座標$q_1$は${\mathrm{Q}}_2$の$x$座標$q_2$より小さいとする．

(1)　$q_1$と$q_2$を，$p$を用いて表せ．

(2)　直線${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$の方程式を，$a$と$p$を用いて表せ．

(3)　$S_1$を直線${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$と曲線$C$で囲まれた部分の面積，$S_2$を曲線$C$と線分${\mathrm{PQ}}_1\text{，}{\mathrm{PQ}}_2$で囲まれた部分の面積とする．$S_1$と$S_2$を，$a$と$b$を用いて表し，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の値を求めよ．

(4)　${\mathrm{PQ}}_1\perp {\mathrm{PQ}}_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

【３】　定数$a$に対し，

$f(x)=a\sin 2x-\tan x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

とおく．

(1)　$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．実数$\theta$を，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$かつ$f(\theta )=0$を満たすものとするとき，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．

(2)　不定積分

${\displaystyle \int }f(x)dx$

を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1$であるとする．このとき，

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}|f(x)|dx+\log a$

を$a$の$1$次式で表せ．ただし，$\log$は自然対数を表す．