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2015 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

(2)〜(3)と合わせて配点40点,

数学科は60点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の から までに当てはまる数字 0 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(1) ある商店街のくじは,「 A 賞」「 B 賞」「 C 賞」「はずれ」が,それぞれ 14 の確率ででるという. 4 人がそれぞれ 1 回ずつこのくじを引くとする.

(a) 誰も「はずれ」を引かない確率は である.

(b) 少なくとも 1 人が「 A 賞」を引く確率は である.

(c)  4 人にうち,誰か 1 人だけが「 A 賞」を引く確率は である.

(d) 「 A 賞」「 B 賞」「 C 賞」「はずれ」がそれぞれ 1 つずつ出る確率は である.

2015 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

(1),(3)と合わせて配点40点

数学科は60点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の から までに当てはまる数字 0 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(2)  n=0 1 2 に対して,関数 fn (x )

f0 (x )=1 ( 0x π 2)

fn (x )= x 2- cos x2 0π 2 fn-1 ( t) sint dt (n= 1 2 3 0x π2 )

によって定める.このとき,

cn = 0π 2 fn- 1 (t ) sint dt

とおくと,

c1 =

cn = - cn- 1

である.したがって

cn= + ( - ) n-1

であり,各 x に対して

limn fn (x )= x 2- cos x

となる.

2015 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

(1),(2)と合わせて配点40点

数学科は60点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の から までに当てはまる数字 0 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(3) 実数 a に対し, x の方程式

log2 | x-a| =log4 ( x-2)

を考える.この方程式を満たす実数の個数を a の値で分類すると,

(a)  a< のとき 0 個,

(b)  a=- のとき 個,

(c) (a),(b)以外のとき 個である.

2015 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

30点,数学科は45点

易□ 並□ 難□

【2】  t 0 <t<1 を満たす実数として,関数 f (x )

f( x)= -x2 +(1 +t2 )x -t2

と定める.座標平面において,原点 O から放物線 y =f( x) へ引いた接線のうち,接点の x 座標が正のものを考える.その接点を P ( p,f (p ) ) とおく.

(1) 点 P の座標を t を用いて表せ.

(2) 放物線 y =f (x ) x p の部分, x 軸,直線 x =p で囲まれる図形の面積を S 1 とする. S1 t を用いて表せ.

(3) 線分 OP x 軸,直線 x =p で囲まれる図形の面積を S 2 とし,(2)の S 1 に対して S =S2 -S1 とおく. t 0 <t<1 の範囲を動くとき S を最大にする t の値を求めよ.

2015 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

30点,数学科は45点

易□ 並□ 難□

【3】 以下の問いに答えよ.( n は自然数とする.)

(1)  x=a tanθ とおくことにより,定積分

0a dx a2+ x2 a>0

を求めよ.

(2) 極限値

limn k=0 2n n 4n 2+k 2

を求めよ.

(3)(a) 実数 x 0 に対して

1 1+x 2 -x2 n+2 1 + k= 1n (- x2) k 1 1+x 2 +x2 n+2

を示せ.

(b) 数列 { an }

an= k=0 n (- 1)k 2k +1 =1- 13+ 15 - 17 ++ (- 1)n 1 2n+ 1

により定める. limn an を求めよ.

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