Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2015年度一覧へ
大学別一覧へ
理科大一覧へ
2015-13442-0401
2015 東京理科大学 理工学部B方式
数,建築,電気電子情報学科
2月6日実施
(2)〜(3)と合わせて配点40点,
数学科は60点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の ア から ヨ までに当てはまる数字 0 〜 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.
(1) ある商店街のくじは,「 A 賞」「 B 賞」「 C 賞」「はずれ」が,それぞれ 14 の確率ででるという. 4 人がそれぞれ 1 回ずつこのくじを引くとする.
(a) 誰も「はずれ」を引かない確率は ア イ ウ エ オ である.
(b) 少なくとも 1 人が「 A 賞」を引く確率は カ キ ク ケ コ サ である.
(c) 4 人にうち,誰か 1 人だけが「 A 賞」を引く確率は シ ス セ ソ である.
(d) 「 A 賞」「 B 賞」「 C 賞」「はずれ」がそれぞれ 1 つずつ出る確率は タ チ ツ である.
2015-13442-0402
(1),(3)と合わせて配点40点
(2) n=0 , 1 ,2 , ⋯ に対して,関数 fn⁡ (x ) を
f0 ⁡(x )=1 ( 0≦x≦ π 2)
fn ⁡(x )= x 2- cos ⁡x2 ⁢ ∫0π 2 fn-1 ⁡( t)⁢ sin⁡t⁢ dt (n= 1 ,2 ,3 ,⋯ ,0≦x ≦ π2 )
によって定める.このとき,
cn = ∫0π 2 fn- 1⁡ (t )⁢ sin⁡t⁢ dt
とおくと,
c1 = テ
cn = ト ナ - ニ ヌ ⁢ cn- 1
である.したがって
cn= ネ ノ + ハ ヒ ⁢ ⋅( - フ ヘ ) n-1
であり,各 x に対して
limn →∞ fn ⁡(x )= x 2- ホ マ ⁢ cos ⁡x
となる.
2015-13442-0403
(1),(2)と合わせて配点40点
(3) 実数 a に対し, x の方程式
log2 ⁡| x-a| =log4 ⁡( x-2)
を考える.この方程式を満たす実数の個数を a の値で分類すると,
(a) a< ミ ム のとき 0 個,
(b) a=- メ モ , ヤ のとき ユ 個,
(c) (a),(b)以外のとき ヨ 個である.
2015-13442-0404
30点,数学科は45点
【2】 t を 0 <t<1 を満たす実数として,関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= -x2 +(1 +t2 )⁢x -t2
と定める.座標平面において,原点 O から放物線 y =f⁡( x) へ引いた接線のうち,接点の x 座標が正のものを考える.その接点を P ( p,f⁡ (p ) ) とおく.
(1) 点 P の座標を t を用いて表せ.
(2) 放物線 y =f⁡ (x ) の x ≦p の部分, x 軸,直線 x =p で囲まれる図形の面積を S 1 とする. S1 を t を用いて表せ.
(3) 線分 OP , x 軸,直線 x =p で囲まれる図形の面積を S 2 とし,(2)の S 1 に対して S =S2 -S1 とおく. t が 0 <t<1 の範囲を動くとき S を最大にする t の値を求めよ.
2015-13442-0405
【3】 以下の問いに答えよ.( n は自然数とする.)
(1) x=a⁢ tan⁡θ とおくことにより,定積分
∫ 0a dx a2+ x2 ( a>0 )
を求めよ.
(2) 極限値
limn →∞ ∑ k=0 2⁢n n 4⁢n 2+k 2
(3)(a) 実数 x ≧0 に対して
1 1+x 2 -x2 ⁢n+2 ≦1 + ∑k= 1n (- x2) k≦ 1 1+x 2 +x2 ⁢n+2
を示せ.
(b) 数列 { an } を
an= ∑ k=0 n (- 1)k 2⁢k +1 =1- 13+ 15 - 17 +⋯+ (- 1)n ⁢ 1 2⁢n+ 1
により定める. limn →∞ an を求めよ.