2015　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数として，$3$次関数$f(x)=x^3-a{x}^2+3bx-10$は$x=1$で極値をとるとする．

(1)　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}b+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$であり，$b\ne \boxed{\text{オ}}$である．

(2)　$3$次方程式$x^3-a{x}^2+3bx-10=0$が異なる$3$つの実数解をもつのは

$b<-\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}<b$

のとき，すなわち

$a<-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}\boxed{\text{コ}\text{サ}}<a$

のときである．

【２】　$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CD}=6\text{，}\mathrm{DA}=5$である四角形$\mathrm{ABCD}$があり，この四角形は円$O$に内接している．

(1)　$\cos \angle \mathrm{B}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$\mathrm{AC}=\sqrt{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}$である．

(2)　円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}}}$である．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．

(4)　四角形$\mathrm{ABCD}$は，ある円に外接している．この円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$である．

【３】　座標平面上に$\mathrm{A}(3,2)\text{，}\mathrm{B}(8,2)\text{，}\mathrm{C}(6,6)\text{，}\mathrm{D}(3,6)$を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$と四角形$\mathrm{ABCD}$の周上の点（頂点を含む）との距離の最小値を$d$とする．

(1)　$\mathrm{P}$の座標が$(2,1)\text{，}\mathrm{P}$の座標が$(2,8)\text{，}\mathrm{P}$の座標が$(6,4)$のとき，$d$はそれぞれ

$\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\text{，}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$

である．

(2)　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}7\text{，}8$のそれぞれの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ，合計$8$枚ある．これらの$8$枚のカードをよく混ぜてから，カードを$1$枚取り出す．このカードを元に戻さないで，もう$1$枚カードを取り出す．$1$回目に取り出したカードの数字を$x\text{，}2$回目に取り出したカードの数字を$y$として，座標が$(x,y)$である点を$\mathrm{P}$とする．

(a)　$d=0\text{，}d=1\text{，}d=2$となる確率は，それぞれ

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}$

である．

また，$d$が無理数となる確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}}$である．

(b)　$d$の期待値は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}\text{ヘ}\text{ホ}}}}\sqrt{\boxed{\text{マ}}}$である．

【４】　$a$は$0$以上の実数とする．放物線$y=x^2+a^2$を$C_a$とし，$y$軸と平行な直線$x=1$を$M$とする．$C_a$と$M$の交点における$C_a$の接線を$L_a$とする．$a>0$のとき，$C_0$と$L_a$で囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S_a$とおく．

(1)(a)　$S_a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{a}^{\boxed{\text{ウ}}}$である．

(b)　$L_a$と平行であり，かつ$C_0$と異なる$2$点で交わる直線$L$に対して，$L$と$C_0$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S$とおく．$S={\displaystyle \frac{1}{8}}{S}_3$となるのは，$L$の$y$切片が${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$のときである．

(2)　$2$つの曲線$C_0$と$C_3\text{，}$および$2$直線$L_3\text{，}{L}_5$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

【５】　$n$を自然数とする．$k=1\text{，}2\text{，}3$に対して，次の条件${\mathrm{P}}_k$を考える．

${\mathrm{P}}_k\text{：}k\leqq r\leqq n-k$を満たすすべての自然数$r$に対して，${}_{n}C_r$は偶数である．

(1)　$2\leqq n\leqq 20\text{，}k=1$とする．${\mathrm{P}}_1$を満たす$n$は全部で$\boxed{\text{ア}}$個ある．このうち，最大のものは$\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$である．

(2)　$4\leqq n\leqq 1000\text{，}k=2$とする．${\mathrm{P}}_2$を満たす$n$は全部で$\boxed{\text{エ}\text{オ}}$個ある．このうち，最大のものは$\boxed{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}$である．

(3)　$6\leqq n\leqq {10}^{16}\text{，}k=3$とする．${\mathrm{P}}_3$を満たす$n$は全部で$\boxed{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}$個ある．

（注意：$0.3010<{\log }_{10}2<0.3011$）