2015 東京理科大学 工学部B方式2月8日実施

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2015 東京理科大学 工学部B方式

建築,電気工学科

2月8日実施

(1)〜(3)合わせて配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1),(2),(3)においては,   内の 1 つのカタカナに 0 から 9 までの数字が 1 つあてはまる.その数字を解答用マークシートにマークしなさい.与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は,上位の桁を 0 として,右に詰めた数値としなさい.分数は既約分数とし,値が整数の場合は分母を 1 としなさい.根号を含む形で解答する場合は,根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい.

(1)  a を正の定数とし,関数 f (x )=tan 2x ( 0x< π 4 ) および g (x )=a cosx ( 0x π 2 ) に対して,曲線 y =f( x) y =g (x ) の交点の x 座標を θ とする.曲線 y =f( x) x 軸,および直線 x =θ で囲まれた部分の面積 S を考える.

(a)  a= のとき, θ= π 6 である.このとき S = × log である.

(b)  a= のとき, S= 12 log 7+1 2 である.

 ただし,正の数 A に対して, logA A の自然対数を表す.

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建築,電気工学科

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(1)〜(3)合わせて配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1),(2),(3)においては,   内の 1 つのカタカナに 0 から 9 までの数字が 1 つあてはまる.その数字を解答用マークシートにマークしなさい.与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は,上位の桁を 0 として,右に詰めた数値としなさい.分数は既約分数とし,値が整数の場合は分母を 1 としなさい.根号を含む形で解答する場合は,根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい.

(2)  1 個のサイコロを投げ,その出た目によって,点 P を座標平面上で移動させる試行を繰り返す.

P の出発点 ( x0, y0 ) を原点 ( 0,0 ) とし, 1 回目の試行(移動)後の点 P の座標を ( x1, y1 ) 2 回目の試行(移動)後の点 P の座標を ( x2, y2 ) 以下同様に k 回目の試行(移動)後の点 P の座標を ( xk, yk ) とする.

座標 ( xk, yk ) k=1 2 3 は次のルールによって定める.

サイコロを k 回目に投げたとき,出た目を 3 で割った商を q 余りを r として,

xk を次のように q によって定め,

{ q=0 のとき x k=x k-1 q=1 のとき xk= xk- 1+1 q=2 のとき x k=x k-1 -1

yk を次のように r によって定める.

{ r=0 のとき y k=y k-1 r= 0 のとき yk= yk- 1+1 r= 2 のとき yk= yk- 1-1

ただし,サイコロを投げたとき, 1 から 6 の目がそれぞれ確率 16 で出るものとする.

(a)  (x 2,y 2) =(0 ,0 ) である確率は であり, (x 3,y 3) =(0 ,0) である確率は である.

(b)  xk+ yk が偶数である確率を p k とすると,

p1 = であり,

pk = (- ) k+ k= 2 3 4

である.

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2月8日実施

(1)〜(3)合わせて配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1),(2),(3)においては,   内の 1 つのカタカナに 0 から 9 までの数字が 1 つあてはまる.その数字を解答用マークシートにマークしなさい.与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は,上位の桁を 0 として,右に詰めた数値としなさい.分数は既約分数とし,値が整数の場合は分母を 1 としなさい.根号を含む形で解答する場合は,根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい.

(3)  1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC において,辺 OA 2 :1 の比に内分する点を P OP :PA=2 :1 ), OC 1 :2 の比に内分する点を Q OQ: QC=1:2 ), AB の中点を M とする.

(a)  MP= MQ= である.

(b) 三角形 MPQ の面積は × である.

(c) 辺 BC 上の BR = となる点 R は, 3 M P Q で定まる平面上にある.

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2月8日実施

(1),(2)で25点

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えなさい.

(1)  a を実数の定数とし, x の関数 f (x )=a x2 +4a x+ a2- 1 を考える.区間 - 4x 1 における関数 f (x ) の最大値が 5 であるとき,定数 a の値を求めなさい.

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建築,電気工学科

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(1),(2)で25点

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えなさい.

(2)  f( x) および g (x ) x =a で微分可能な関数とする.このとき,極限値

limh 0 f( a+3 h) g( a+5 h)- f( a) g( a) h

f (a ) g( a) および微分係数 f ( a) g (a ) を用いて表しなさい.

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建築,電気工学科

2月8日実施

25点

易□ 並□ 難□

【3】 楕円 C x2a 2+ y 2b2 =1 a>b> 0 は次の条件を満たすとする.

・楕円 C は点 A ( 0,-1 ) を通る

・楕円 C の右焦点と直線 x -y+2 2 =0 の距離は 3 である

(ただし,楕円の右焦点とは,楕円の 2 つの焦点のうち, x 座標が正のものをさす.)

(1)  a b の値を求めなさい.

(2)  y 軸上に点 P ( 0,p ) をとる.点 P を通り,次の条件を満たす直線 l p の値によって何本引けるかを調べなさい.

・直線 l は楕円 C と異なる 2 M N で交わり, AM=AN が成り立つ

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