2015　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．

(1)　$a$を$0$でない実数の定数とし，曲線$C\text{：}y=a{x}^2-1$および直線$l\text{：}x+y=0$を考える．

(a)　$a=1$とする．曲線$C$上の$2$点$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$と$(\boxed{\text{ウ}},-\boxed{\text{エ}})$は直線$l$に関して対称である．

(b)　曲線$C$上に，直線$l$に関して対称である．異なる$2$点が存在するとき，定数$a$のとり得る値の範囲は

$a>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．

(2)　座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,0)\text{，}\mathrm{B}(2\sqrt{3},2)\text{，}\mathrm{C}(2\sqrt{3}-1,\sqrt{3}+2)\text{，}\mathrm{D}(-1,\sqrt{3})$を頂点とする長方形$\mathrm{ABCD}$がある．点${\mathrm{P}}_0$を辺$\mathrm{AB}$の中点とし，条件

を満たすように，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}\text{，}\mathrm{AB}$上にそれぞれ点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$を図のようにとる．

点${\mathrm{P}}_4$の$x$座標$x_4$が$\sqrt{3}<x_4<2\sqrt{3}$を満たすとき，点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$の$x$座標$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$のとり得る値の範囲はそれぞれ

$\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}<x_1<\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}$

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{サ}}}-\boxed{\text{シ}}<x_2<\sqrt{\boxed{\text{ス}}}-\boxed{\text{セ}}\text{，}$

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}<x_3<-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．

(3)　$a$を実数の定数とし，$x$に関する方程式${\displaystyle \frac{\log (3-x^2+2x)}{\log (x-a)}}=2$を考える．この方程式が実数解をもつとき，実数$a$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}\leqq a<\sqrt{\boxed{\text{エ}}}\text{，}$

$\sqrt{\boxed{\text{オ}}}<a<\boxed{\text{カ}}$

である．

ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{x+3}{x-3}}\right)}^x$を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　座標空間において，点$\mathrm{A}(1,2,0)\text{，}\mathrm{B}(2,3,-1)$をとり，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$とする．実数$t$が定める点$\mathrm{P}(t,-t,3t)$に対して，直線$l$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$と直線$l$が直交するようにとる．

(a)　点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．

(b)　$t$を変化させるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるような$t$の値を求めなさい．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において点$\mathrm{R}(a,b)\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$をとる．$x$軸の正の部分に点$\mathrm{P}$を，$y$軸の正の部分に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{R}$を通るようにとる．以下，$\angle \mathrm{OPQ}=\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを，$\theta$および$a\text{，}b$を用いて表しなさい．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを最小にする角$\theta$に対して，$\tan \theta$および線分$\mathrm{PQ}$の長さを$a\text{，}b$を用いて表しなさい．

(3)　$a=1\text{，}b=8$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の$3$辺の長さの和を最小にする角$\theta$に対して，$\tan \theta$の値および線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．