2015　東京理科大学　基礎工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を初項$5{\log }_{2}3\text{，}$公差$-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{2}3-{\displaystyle \frac{1}{2}}$の等差数列とする．このとき，

(1)

$a_{10}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{\log }_{2}3-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}{a}_{11}=-\boxed{\text{オ}}$

である．

(2)　数列$\{b_n\}$を

$b_n=2^{a_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定めると，これは初項$\boxed{\text{カキク}}\text{，}$公比${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$の等比数列となる．

(3)　数列$\{a_n\}$はある$n$より先は負となる．$a_n$が負となる最初の$n$は$\boxed{\text{サ}}$である．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(3,-2,1)\text{，}\mathrm{B}(1,2,5)$を定め，$t$を実数として，$x$軸上を動く点$\mathrm{P}(0,0,t)$をとる．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{BP}$の長さが等しくなるのは$t=\boxed{\text{イ}}$のときである．

(3)　$\angle \mathrm{APB}$が直角となるのは$t=\boxed{\text{ウ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{エ}}}$のときである．

(4)　$▵\mathrm{ABP}$の面積が最小となるのは$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$のときである．

【３】(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{5}}\sin x+1$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\leqq f(x)\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

(2)　関数$g(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}\sin x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cos x+1$を考える．$g(x)$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}\leqq g(x)\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$

である．

また，$g(\alpha )=1$となる実数$\alpha$をとると

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

となる．

(3)　関数$h(x)={\sin }^{2}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin x\cos x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\cos }^{2}x+1$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}-\sqrt{\boxed{\text{タチ}}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}\leqq h(x)\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}+\sqrt{\boxed{\text{ニヌ}}}}{\boxed{\text{ネノ}}}}$

である．

【４】　関数$F(x)\text{，}G(x)\text{，}H(x)$を

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^1}({\displaystyle \frac{x}{3}}-t)e^{-2t}dt\text{（}x>0\text{）}$

$G(x)={\displaystyle {\int }_0^x}({\displaystyle \frac{x}{3}}-t)e^{-2t}dt\text{（}x>0\text{）}$

$H(x)={\displaystyle {\int }_0^x}|{\displaystyle \frac{x}{3}}-t|e^{-2t}dt\text{（}x>0\text{）}$

と定める．ここで，$e$は自然対数の底である．

$F(x)\text{，}G(x)\text{，}H(x)$は次のように書き表される．

$F(x)=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}{e}^{-\boxed{\text{オ}}})x+(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}{e}^{-\boxed{\text{コ}}})$

$G(x)=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}})e^{-\boxed{\text{ソ}}x}+({\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}})$

$H(x)=-({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}})e^{-\boxed{\text{ネ}}x}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}{e}^{-\frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}x}+({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}})$

【５】　$x$を$2$より小さい実数として，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{4x-7}{x-2}}\text{（}x<2\text{）}$

と定め，座標平面上で曲線$y=f(x)$を考える．

(1)　曲線$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描け．

(2)　点$({\displaystyle \frac{5}{4}},f({\displaystyle \frac{5}{4}}\left)\right)$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．

(3)　直線$5x-2y=a$が曲線$y=f(x)$の法線となるときの実数$a$の値を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(5)　曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．