2015　東京理科大学　理学部B方式2月13日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナとひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数を表すものとする．

(1)　$f(x)=4x^4+8x^3+3x^2-2x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}g(x)=4x^4-8x^3+3x^2+2x+{\displaystyle \frac{1}{4}}$で定められる関数に対して，$f(x)$は$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\sqrt{3}$において最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\sqrt{3}$をとり，$g(x)$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\sqrt{3}$において最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\sqrt{3}$をとる．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナとひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数を表すものとする．

(2)　$a$を正の実数とし，座標平面上の$2$曲線$B_1\text{：}y={({\displaystyle \frac{a}{\pi }}x)}^2$と$B_2\text{：}y=\sin x$の$0<x<\pi$における交点の$x$座標を$t\text{，}0\leqq x\leqq t$において$2$直線で囲まれた領域の面積を$S$とすると，

　$S=\boxed{\text{ナ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}t\sin t-\boxed{\text{ネ}}\cos t$である．

　$a=2$のとき，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\pi$である．

$0<a\leqq 2$に対して$S$がとり得る値の範囲は

　$\boxed{\text{ヒ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\pi \leqq S<\boxed{\text{ホ}}$である．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナとひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数を表すものとする．なお，同一の問題文中に$\boxed{\text{ア}}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は，$\boxed{\text{ア}}$のように網掛けで表記する．

(3)　空調のある$1$号室，$2$号室，$3$号室は電力事情により，同時に$1$部屋しか空調の電源をオンにできない．最初は$1$号室の電源をオンにすることにし，それ以降は$1$時間ごとに大小の$2$つの公平なさいころをふって，どの部屋の電源をオンにするかを以下のように決める．

(ⅰ)　大きい方のさいころの目が奇数ならば，小さい方の目にかかわらず同じ部屋の電源をオンにしたままとする．

(ⅱ)　大きい方のさいころの目が偶数ならば，残りの$2$つの部屋のどちらか一方の電源をオンにする．その際，小さいさいころの目が奇数ならば，番号の小さい部屋の電源，偶数ならば番号の大きい方の電源をオンにする．

　自然数$n$に対して，$1$号室の電源を最初にオンにした時から$n$時間後に，$1$号室の空調の電源をオンにする確率を$a_n\text{，}2$号室の電源をオンにする確率を$b_n\text{，}3$号室の空調の電源をオンにする確率を$c_n$とする．

(a)　$a_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}\text{，}{b}_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}\text{，}{c}_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}$である．

すべての自然数$n$に対して以下が成り立つ．

(b)　$a_n+b_n+c_n=\boxed{\text{ユ}}$

(c)　$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}{a}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}}}}{b}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}}}}{c}_n$

(d)　$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{レ}}}{\boxed{\text{ロ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ワ}}}{\boxed{\text{ヲ}}}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ン}}}{\boxed{\text{あ}}}}$

　$b_n=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{い}}}{\boxed{\text{う}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{え}}}{\boxed{\text{お}}}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{か}}}{\boxed{\text{き}}}}$

　$c_n=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{く}}}{\boxed{\text{け}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{こ}}}{\boxed{\text{さ}}}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{し}}}{\boxed{\text{す}}}}$

【２】　各自然数$n$に対し，$X_n\text{，}{Y}_n\text{，}{V}_n\text{，}{W}_n$を

$X_n+Y_n\sqrt{5}={(2+\sqrt{5})}^{2n-1}\text{，}{V}_n-W_n\sqrt{5}={(2-\sqrt{5})}^{2n-1}$

が成り立つような整数とする．次の問いに答えよ．$\sqrt{5}$が無理数であることを証明なしで使ってもよい．

(1)　$X_2\text{，}{Y}_2\text{，}{V}_2\text{，}{W}_2$の値を求めよ．

(2)　$X_{n+1}\text{，}{Y}_{n+1}$をそれぞれ$X_n$と$Y_n$の式で表せ．

(3)　$V_{n+1}\text{，}{W}_{n+1}$をそれぞれ$V_n$と$W_n$の式で表せ．

(4)　${X_n}^2-5{Y_n}^2$を計算せよ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{X_n}{Y_n}}$を計算せよ．

【３】　座標平面上の放物線$C_1\text{：}y=2x^2+2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$と$C_2\text{：}y=-2x^2+2x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$に対して次の問いに答えよ．なお，必要なら【１】(1)の結果を使ってもよい．

(1)　$C_1$上の点$\mathrm{A}(t,2t^2+2t+{\displaystyle \frac{1}{2}})$と$C_2$上の点$\mathrm{B}(s,-2s^2+2s+{\displaystyle \frac{3}{2}})$に対し，$C_1$の点$\mathrm{A}$における接線の傾きと$C_2$の点$\mathrm{B}$における接線の傾きが等しくなるための必要十分条件を$t$と$s$の式で表せ．

(2)　(1)の条件を満たすようなどんな実数$t\text{，}s$に対しても，直線$\mathrm{AB}$はある共通の点$\mathrm{M}$を通る．$\mathrm{M}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{M}$を(2)で求めた点とする．$C_1$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．

(4)　$\mathrm{M}$を(2)で求めた点とする．$C_2$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．

(5)　(1)の条件を満たすような実数$t\text{，}s$に対して，線分$\mathrm{AB}$の長さがとり得る値の最小値を求めよ．