2015 東京理科大学 理学部数学科2月12日実施MathJax

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2015 東京理科大学 理学部

数学科B方式

2月12日実施

配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字,および,にあてはまる + - の符号を求め,その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ.ただし, 2 桁の数, 3 桁の数, 4 桁の数を表す.

  p 3 で割り切れない整数とする.このとき,整数 a b に対し,

p a-b 3 の倍数ならば, a-p b 3 の倍数になる.」

がわかる.これを認めて, 2 つの整数列 { an } { bn } を以下のように定める. a1 =1 とし, b1 0 1 2 いずれかの数で p a1 -b1 3 の倍数になるようなものとし, n=2 3 に対し, an bn を次のように定める.

{ a n= 13 (a n-1 -p bn-1 ) b n は,0 1 2 いずれかの数でp an- bn 3 の倍数となるようなものとする.

このように定められた 2 つの整数列 { an } { bn } について,以下の各問いに答えよ.

(1)  p=8 のとき, b1 = a2 =- b2 = a 3=- b 3= a4 =- b4 = a5 =- b5 = a6 =- となる.

(2)  p=- 13 のとき, a190 = b190= a191 = b191 = a192 = b192 = となる.

(3)  p=-13 のとき, k= 1200 ak = となる.

(4)  p=- 13 のとき, k= 130 k2 bk = となる.

(5)  p=3 11+1 のとき,数列 { bn } の第 2 項目以降で 0 でない値が初めて出てくるのは,第 項目であり,その項の値は である.

(6) 数列 { bn } のすべての項が 1 となるような整数 p で絶対値が最小となるものは, である. 0 のときは, +0 で表すものとする.

2015 東京理科大学 理学部

数学科B方式

2月12日実施

配点60点

易□ 並□ 難□

【2】  s - 1s 1 を満たす実数とする. xy 平面上のベクトル as bs cs

as = (s, 1-s 2) bs =( 1-s 2,-s ) cs = (s 1+s 2, 1-s4 )

と定める. t を実数とし, ft (s ) gt (s ) ht (s ) kt (s )

as + t |b s | bs =( ft (s) ,gt (s ))

as - t | cs | cs = (h t( s), kt (s ))

により定める.さらに, s を媒介変数とする 2 つの曲線

Ct x= ft (s ) y= gt (s ) ( -1 2s 1)

Kt x= ht (s ) y= kt (s ) -1s 1

を考える.次の各問いに答えよ.

(1)  ft ( s) g t( s) h t( s) k t( s) s t を用いて表せ.

(2)  as bs のなす角,および, as cs のなす角を求めよ.

(3)  ft ( s) 2+ gt (s) 2 t のみを用いて表せ.

(4)  t 0 から 3 まで動くとき, Ct が通過する部分を D とする. D を図示せよ.

(5) (4)で定めた D の面積を求めよ.

(6) (4)で定めた D x 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積を求めよ.

(7)  K1 2 K 1 K 32 を図示せよ.

(8)  t 1 2 |t -1| 1 を満たす範囲を動くとき, Kt が通過する部分の面積を求めよ.

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