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2015 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

(1),(2)で配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ.なお, などが 2 度現れる場合, 2 度目は などのように網掛けで表記する. 2 桁の数を表す.

(1) 座標平面上に 3 A ( -1,0 ) B (1 ,0) C ( 0,1 ) がある.

(a) 楕円

E x 24 + y2 b2 =1 b>0

2 A B を焦点としてもつとする.このとき, b= である.

(b)  2 A C を通る直線と,(a)で定めた楕円 E の交点を P ( x0, y0 ) x0> 0 とすると,

x0= - + y 0= +

である.

(c) (b)で定めた点 P に対して, PB+PC = - である. QB+QC= - となるような点 Q ( x,y ) の軌跡の方程式は

(x -y) 2α + (x +y-γ )2 β= 1

である.このとき,

α= - β = - γ=

となる.

2015 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

(1),(2)で配点50点

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ. 2 桁の数を表す.

(2) 座標平面上の原点 O ( 0,0 ) A ( 2,2 ) B ( k,0 ) を通り,軸が y 軸に平行な放物線を C とする.ただし, k>2 とする.

(a) 放物線 C の方程式を k を用いて表すと,

y=- k- x2+ kk - x

である.

(b) 放物線 C x 軸で囲まれた部分の面積 S k を用いて表すと,

S= k (k - )

である.また, k k >2 の範囲で動かすとき, S の最小値は であり,そのときの k の値は k = である.

(c) 放物線 C x 軸で囲まれた部分を放物線 C の軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V k を用いて表すと,

V= k (k - ) π

である.また, k k >2 の範囲で動かすとき, V の最小値は π であり,そのときの k の値は k = である.

2015 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

配点35点

易□ 並□ 難□

【2】 各辺の長さが整数であるような三角形を考え,その 3 辺の長さを x y z x yz とする.また, n を自然数とする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)  z=n であるような三角形の個数を a n とするとき, a5 および a 6 を求めよ.

(2) (1)の a n n の式で表せ.

(3)  zn であるような三角形の個数を b n とする.

(a)  bn n の式で表せ.

(b)  bn >2015 となるような最小の自然数 n を求めよ.

(4)  x=n であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を c n とするとき, cn n の式で表せ.

2015 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

配点35点

易□ 並□ 難□

【3】 不等式 xx-1 0 を満たす実数 x の範囲を定義域とする関数

f( x)= 3x x x-1

について,以下の問いに答えよ.

(1) 関数 f (x ) の定義域を求めよ.

(2)  a1 =limx f( x) x a 2=lim x- f (x ) x とする. a1 a2 の値を求めよ.

(3) (2)の a1 a 2 に対して, b1 =limx (f (x )- a1 x) b 2=lim x- ( f( x)- a2 x) とする. b1 b2 の値を求めよ.

(4) 関数 f (x ) の最小値を求めよ.

(5) 曲線 y =f( x) の漸近線の方程式を求めよ.

(6)  k を定数とするとき,方程式 f (x )=k の実数解の個数を求めよ.

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