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2015-13442-1201
2015 東京理科大学 理学部B方式
数,物理,化学科
2月12日実施
(1),(2)で配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 次の 内のアからルにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ.なお, シ などが 2 度現れる場合, 2 度目は シ などのように網掛けで表記する. は 2 桁の数を表す.
(1) 座標平面上に 3 点 A ( -1,0 ), B (1 ,0) ,C ( 0,1 ) がある.
(a) 楕円
E: x 24 + y2 b2 =1 ( b>0 )
は 2 点 A ,B を焦点としてもつとする.このとき, b= ア である.
(b) 2 点 A ,C を通る直線と,(a)で定めた楕円 E の交点を P ( x0, y0 ) ( x0> 0 ) とすると,
x0= - イ ウ + エ オ ⁢ カ ,y 0= キ ク + ケ コ ⁢ サ
である.
(c) (b)で定めた点 P に対して, PB+PC = シ - ス である. QB+QC= シ - ス となるような点 Q ( x,y ) の軌跡の方程式は
(x -y) 2α + (x +y-γ )2 β= 1
である.このとき,
α= セ - ソ ⁢ タ ,β = チ - ツ ⁢ テ , γ= ト
となる.
2015-13442-1202
配点50点
【1】 次の 内のアからルにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ. は 2 桁の数を表す.
(2) 座標平面上の原点 O ( 0,0 ) , 点 A ( 2,2 ), 点 B ( k,0 ) を通り,軸が y 軸に平行な放物線を C とする.ただし, k>2 とする.
(a) 放物線 C の方程式を k を用いて表すと,
y=- ナ k- ニ ⁢ x2+ kk - ヌ ⁢ x
(b) 放物線 C と x 軸で囲まれた部分の面積 S を k を用いて表すと,
S= k ネ ノ ⁢ (k - ハ ) ヒ
である.また, k を k >2 の範囲で動かすとき, S の最小値は フ ヘ であり,そのときの k の値は k = ホ である.
(c) 放物線 C と x 軸で囲まれた部分を放物線 C の軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V を k を用いて表すと,
V= k マ ミ ム ⁢ (k - メ ) モ ⁢ π
である.また, k を k >2 の範囲で動かすとき, V の最小値は ヤ ユ ヨ ラ ⁢π であり,そのときの k の値は k = リ ル である.
2015-13442-1203
配点35点
【2】 各辺の長さが整数であるような三角形を考え,その 3 辺の長さを x , y ,z ( x≦ y≦z ) とする.また, n を自然数とする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) z=n であるような三角形の個数を a n とするとき, a5 および a 6 を求めよ.
(2) (1)の a n を n の式で表せ.
(3) z≦n であるような三角形の個数を b n とする.
(a) bn を n の式で表せ.
(b) bn >2015 となるような最小の自然数 n を求めよ.
(4) x=n であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を c n とするとき, cn を n の式で表せ.
2015-13442-1204
【3】 不等式 xx-1 ≧0 を満たす実数 x の範囲を定義域とする関数
f⁡( x)= 3⁢x⁢ x x-1
について,以下の問いに答えよ.
(1) 関数 f ⁡(x ) の定義域を求めよ.
(2) a1 =limx →∞ f⁡( x) x ,a 2=lim x→-∞ f ⁡(x ) x とする. a1 , a2 の値を求めよ.
(3) (2)の a1 ,a 2 に対して, b1 =limx →∞ (f ⁡(x )- a1⁢ x) ,b 2=lim x→- ∞( f⁡( x)- a2⁢ x) とする. b1 , b2 の値を求めよ.
(4) 関数 f ⁡(x ) の最小値を求めよ.
(5) 曲線 y =f⁡( x) の漸近線の方程式を求めよ.
(6) k を定数とするとき,方程式 f ⁡(x )=k の実数解の個数を求めよ.