2015　東邦大学　医学部医学科MathJax

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2015　東邦大学　医学部医学科

1月28日実施

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【１】　放物線 $y = x^{2} + 6 x + 5$ と直線 $y = 2 x + k$ が異なる $2$ 点 $A ， B$ で交わり，線分 $AB$ の長さが $2 \sqrt{2}$ であるとき，定数 $k$ の値は $\frac{ア}{イ}$ である．

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【２】　等差数列 ${a_{n}}$ が， $a_{15} + a_{23} = - 240 ， a_{19} + a_{20} + a_{21} = - 318$ を満たしている．このとき，公差は $ウエ$ であり，和 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ は $n = オカ$ のとき最小となる．

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【３】　 $25^{25}$ の桁数は $キク$ である．ただし， $\log_{10} 2 = 0.301$ とする．

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【４】　 $n$ を自然数とする．関数 $f (x)$ を $f (x) = \lim_{n \to \infty} \frac{a + x^{2} + x^{2 n} - x^{2 n + 2}}{12 + x^{2 n}}$ と定めるとき， $f (x)$ が実数全体で連続となるような定数 $a$ の値は $ケコ$ である．

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2015年東邦大医学科【５】の図

【５】　右の図のような $∠ B$ を直角とする直角三角形 $ABC$ において， $∠ C$ の $3$ 等分線と辺 $AB$ との $2$ つの交点を $D ， E$ とする． $BC = 2 ， BD = \frac{8}{3}$ のとき， $AC = サ \sqrt{シ}$ である．

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【６】　ある病気にかかっているかどうかを判定するための簡易検査法がある．この検査法は，

・病気にかかっているのに，病気にかかっていないと誤って判定してしまう確率が $\frac{1}{4}$

・病気にかかっていないのに，病気にかかっていると誤って判定してしまう確率が $\frac{1}{13}$

と言われている．

　全体の $\frac{1}{14}$ が病気にかかっているとされる集団の中から $1$ 人を選んで検査する．このとき，病気にかかっていると判定される確率は $\frac{ア}{イ}$ である．また，病気にかかっていると判定されたときに，実際には病気にかかっていない確率は $\frac{ウ}{エ}$ である．

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【７】　 $e$ を自然対数の底とする．関数 $f (x) = {(e^{x})}^{e^{x}}$ は， $x = オカ$ のとき極値をとる．

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【８】　 $a ， b$ を実数とし， $i$ を虚数単位とする．複素数 $x = a + b i$ が等式 $(1 - \frac{i}{2}) x - 8 + \frac{\sqrt{3}}{2} i = {(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})}^{104}$ を満たしているとき， $a = キ， b = ク$ である．

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【９】　三角形 $ABC$ の内部に $3$ 点 $D ， E ， F$ があり， $\vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{AD} ， \vec{BF} = \frac{1}{3} \vec{BE} ， \vec{CD} = \frac{3}{5} \vec{CF}$ を満たしている．このとき， $\vec{BE} = \frac{ケ}{コ} \vec{BA} + \frac{サ}{シ} \vec{BC}$ である．

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【10】　次のデータは，ある高校 $3$ 年生 $9$ 人の $100$ 点満点の試験の結果である．

$65 ， 83 ， 64 ， 69 ， 89 ， 68 ， 77 ， 70 ， 81$

　データを順に， $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， \dots ， x_{9}$ と表す．このとき， $\sum_{i = 1}^{9} {(x_{i} - θ)}^{2}$ を最小にする $θ$ の値は $スセ$ である．また， $\sum_{i = 1}^{9} | x_{i} - θ |$ を最小にする $θ$ の値は $ソタ$ である．

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【11】　 $x$ と $y$ を変数とする関数 $f (x, y) = 9^{x + 1} 3^{y} + 3^{2 x - y} + 3^{y + 3} 9^{- x} + 3^{1 - 2 x - y}$ は $(x, y) = (\frac{ア}{イ}, ウエ)$ のとき，最小値 $オカ \sqrt{キ}$ をとる．

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【12】　連立不等式 $| x | ≦ 1 ， | y | ≦ 1$ で表される領域を $x$ 軸および $y$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体を，それぞれ $X ， Y$ とする． $X$ と $Y$ の共通部分の体積は $\frac{クケ}{コ}$ である．

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【13】　 $O$ を原点とする空間において， $3$ 点 $P (1, - 2, 0) ， Q (0, - 2, 2) ， R (2, 0, 2)$ を通る平面を $α$ とする．また，平面 $α$ 上に，点 $P$ を中心とし，線分 $PR$ を半径とする円 $C$ がある．このとき，原点 $O$ と平面 $α$ との距離は $サ$ であり，原点 $O$ と円 $C$ の周上の点との距離の最大値は $シ \sqrt{ス}$ である．

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【14】　定積分 $\int_{- 2}^{2} \frac{x^{2} \cdot 2^{- x}}{2^{x} + 2^{- x}} d x$ の値は， $\frac{セ}{ソ}$ である．

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【15】　 $k$ を実数とする． $x$ の $3$ 次方程式 $x (x^{2} - 4 x + 4) + k {(k - 2)}^{2} = 0$ の解がすべて実数であるような $k$ の値の範囲は $\frac{タ}{チ} ≦ k ≦ ツ$ である．