2015　東邦大学　看護学部MathJax

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(1)　$12x^{2}y-27y{z}^2$を因数分解せよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(2)　${(\sqrt{5}+1)}^2-{(\sqrt{5}-2)}^2$を計算して簡単にせよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(3)　$x+{\displaystyle \frac{2}{x}}=5$のとき，$x^2+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$の値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(4)　$3$桁の整数のうち，$0$を少なくとも$1$つは含むものはいくつあるか．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(5)　対角線が$20$本ある多角形の辺の数を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(6)　$6$つの面に書かれている数字が$1\text{，}1\text{，}1\text{，}1\text{，}2\text{，}3$であるさいころ$3$個を同時に投げるとき，出た目の和が$4$の倍数になる確率を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(7)　不等式$|3x-1|<x+1$を解け．

【２】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ツ}}$に適する数値もしくは式をそれぞれ求め，解答欄に結果のみ書け．

(1)　$a$を定数とし，$2$次関数

$y=x^2-(2a-2)x-2a+9\cdots \text{①}$

のグラフを$G$とする．$G$の頂点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表すと，

$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$

であるから，$\mathrm{P}$は常に放物線：$y=-x^2-\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}}$上にある．また$G$は$a$の値によらず，常に点$(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$を通る．

　$\text{①}$において，すべての実数$x$に対して$y>0$となるのは，

$\boxed{\text{キ}}<a<\boxed{\text{ク}}$

のときである．

【２】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ツ}}$に適する数値もしくは式をそれぞれ求め，解答欄に結果のみ書け．

(2)　正の定数$a$に対して

$\{\begin{array}{l}{x}^2+xy+y^2=3a^2+4\\ x^2-xy+y^2=a^2+12\end{array}$

を満たす実数$x\text{，}y$（ただし，$x>y$）を考える．このとき，

$x^2+y^2=\boxed{\text{ケ}}$

$xy=\boxed{\text{コ}}$

であるから，

${(x+y)}^2=\boxed{\text{サ}}\text{，}{(x-y)}^2=\boxed{\text{シ}}$

が成り立つ．よって，

$x+y=\pm \boxed{\text{ス}}\text{，}x-y=\boxed{\text{セ}}$

これより，$(x,y)=(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})$または，$(x,y)=(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})$

が解である．

【３】　右の図において四角形$\mathrm{ABCD}$は，点$\mathrm{O}$を中心とし$\mathrm{AE}$を直径とする円（円$O$と呼ぶ）に内接し，直線$l$は円$O$と点$\mathrm{A}$のみを共有し，点$\mathrm{A}$で直径$\mathrm{AE}$と$90\mathrm{°}$をなしている．

　いま$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る直線$m$は直線$l$と点$\mathrm{P}$で交わるとし，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=4\text{，}\mathrm{AC}=6$として次の各問に答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とおく．$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に適する数値または文字を入れよ．

　$\cos \theta =\boxed{\text{ア}}\text{，}\sin \theta =\boxed{\text{イ}}$より，円$O$の半径$\mathrm{OA}$の長さは$\boxed{\text{ウ}}$である．$\angle \mathrm{CAD}=\boxed{\text{エ}}$より$\mathrm{DA}=x$とおくと，$x^2+36-\boxed{\text{オ}}x=16$が成り立つ．図から$\text{弧}\stackrel{⏜}{\mathrm{ABC}}<\text{弧}\stackrel{⏜}{\mathrm{CEDA}}$より$\mathrm{DA}=\boxed{\text{カ}}$である．$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{E}$を結ぶと，$\mathrm{AE}$が円の直径だから$\angle \mathrm{ABE}=\boxed{\text{キ}}$度となり，$\angle \mathrm{AEB}=\boxed{\text{ク}}\text{，}\angle \mathrm{PAE}=\boxed{\text{ケ}}$度より$\angle \mathrm{PAB}=\boxed{\text{コ}}$となる．

(2)　四角形$\mathrm{APCD}$の面積を求めよ．