2015　東邦大学　理学部B英数択一MathJax

2015-13460-0601

2015　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

【１】で配点35点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　定積分 $\int_{0}^{6} | 8 - 2 t | d t$ の値は $ア$ である．

2015-13460-0602

2015　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

【１】で配点35点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　 $a \neq 0$ のとき，無限級数

$1 + (1 - \frac{1}{a}) + {(1 - \frac{1}{a})}^{2} + {(1 - \frac{1}{a})}^{3} + \dots$

が収束するための必要十分条件は $a > イ$ であり，そのときの和は $ウ$ である．

2015-13460-0603

2015　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

【１】で配点35点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　放物線 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ の $0 ≦ x ≦ 2$ の部分が， $y$ 軸の周りに $1$ 回転してできる回転体を容器として，この容器に水を一定の割合で注ぐことを考える．深さ $y = a （ 0 < a < 2 ）$ のところまで注いだとき，水の体積は $エ$ である．また，毎秒 $3$ の割合で注いだとすると，体積が $9$ となった瞬間の深さの割合は毎秒 $オ$ である．

2015-13460-0604

2015　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

【１】で配点35点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)

$f (x) = {\begin{cases} \frac{1 - \cos 3 x}{x^{2}} & （ x \neq 0 ） \\ a & （ x = 0 ） \end{cases}$

で定義される関数 $f (x)$ が連続関数であるとき， $a = カ$ である．

2015-13460-0605

2015　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

配点30点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　すべての正の実数 $x$ に対して

$1 + 3 x ≦ k (1 + 2 x^{3})$

が成立するための $k$ の最小値は $キ$ である．

2015-13460-0606

2015　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

配点35点

易□　並□　難□

【２】　座標空間上の曲線 $C$ が，媒介変数 $θ$ を用いて

$x = \cos^{3} θ ， y = \sin^{3} θ (0 < θ < \frac{π}{2})$

で表されている．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　 $\frac{d y}{d x}$ を $θ$ で表せ．

(ⅱ)　曲線 $C$ と直線 $x = \frac{1}{8}$ が交わる点はただ一つであることを示し，その交点の $y$ 座標を求めよ．

(ⅲ)　曲線 $C$ 上の(ⅱ)の交点における接線の方程式を求めよ．

(ⅳ)　点 $P$ が曲線 $C$ 上を動くとき，曲線 $C$ 上の点 $P$ における接線の $x$ 切片と $y$ 切片の中点の軌跡を求め，図示せよ．

2015-13460-0607

2015　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

配点35点

易□　並□　難□

2015東邦大理学部B英数択一【３】の図

【３】　図のように，半円 $x^{2} + y^{2} = 1 （ y ≧ 0 ）$ と直線 $y = c （ 0 ≦ c < 1 ）$ が交わる $2$ 点を $A ， B$ とし，弧 $AB$ と線分 $AB$ で囲まれる部分の面積を $S (c)$ とおく．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　定積分 $\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ を求めよ．

(ⅱ)　 $S (\frac{1}{2})$ を求めよ．

(ⅲ)　 $A ， B$ の $x$ 座標をそれぞれ $- α ， α （ 0 < α ≦ 1 ）$ とし， $\cos t = α (0 ≦ t < \frac{π}{2})$ とおくとき， $S (c)$ を $t$ の関数として表せ．

(ⅳ)　直線が半円を二等分する $c ，$ すなわち， $S (c)$ が半円の面積の半分となるような $c$ を $c_{0}$ とおけば，

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} < c_{0} < \frac{1}{2}$

が成り立つことを証明せよ．ここで， $π = 3.14$ としてよい．