2015　早稲田大学　国際教養学部MathJax

【１】　数列$a_n$を$a_n=n{\left({\displaystyle \frac{81}{100}}\right)}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$により定義する．

(1)　${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}<1$となる$n$の最小値は$\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　${\log }_{10}{a}_{11}$を小数第$3$位を四捨五入して得られる値は$\boxed{\text{イ}}$である．

(3)　$a_n<1$をみたす$n$を小さいものから順に$n_1\text{，}{n}_2\text{，}{n}_3\text{，}{n}_4\text{，}\cdots$とおく．$n_4$は$\boxed{\text{ウ}}$である．ただし，${\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}1.1=0.0414$であることを利用してよい．

【２】　$\theta$のとる値の範囲が${\displaystyle \frac{\pi }{12}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$である関数

$y={\displaystyle \frac{4}{1+{\tan }^2\theta }}+2{\sin }^2\theta +2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta$

を考える．

(1)　$y$の最大値は$\boxed{\text{エ}}$となり，そのとき$\theta$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　$y$の最小値は$\boxed{\text{カ}}$となり，そのとき$\theta$の値は$\boxed{\text{キ}}$である．

【３】　放物線$p\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$がある．点$\mathrm{A}(1,1)$から$y$軸に平行な直線を引き，放物線$p$との交点を点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$を通り，放物線$p$に接する直線を$l_1$とする．

(1)　点$\mathrm{B}$を通り，直線$l_1$に垂直な直線を$l_2$とすると，直線$l_2$の方程式は

$y=\boxed{\text{ク}}$

で表される．

(2)　直線$l_2$に関して，点$\mathrm{A}$に対称な点$\mathrm{C}$の座標は，

$(x,y)=(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}})$

である．

(3)　点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$を通る直線を$l_3$とすると，直線$l_3$と$y$軸との交点の座標は

$(x,y)=(0,\boxed{\text{サ}})$

となる．

(4)　点$\mathrm{B}$とは異なる直線$l_3$と放物線$p$との交点を点$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$を通る直線と放物線$p$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{シ}}$となる．

(5)　点$\mathrm{D}$を通る放物線$p$の接線を$l_4$とする．点$\mathrm{D}$を通り，接線$l_4$に垂直な直線を$l_5$とする．直線$l_5$に関して，点$\mathrm{C}$に対称な点を点$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$を通る直線の方程式は

$y=\boxed{\text{ス}}$

で表される．

【４】　　棚に包装された製品が$n$個（$n\geqq 4$）並んでいるが，そのうち$2$個が不良品だということがわかっている．$n$個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない．今，どの$2$個が不良品かを見つけるために，$n$個の製品のうち$1$個を取り出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す．$1$個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品も同様にチェックし，この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し，$2$個目の不良品を交換した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき，$1000$円，製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である．

(1)　$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$\boxed{\text{セ}}$である．

(2)　$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\boxed{\text{ソ}}$円である．

(3)　この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$(2000+\boxed{\text{タ}})$円である．