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2015-13591-0401
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2015 早稲田大学 人間科学部
A方式,B方式共通 2月18日実施
易□ 並□ 難□
【1】(1) x+y+ z+w= 18 ,x≧ 8 ,y≧ 4 ,z ≧2 ,w ≧0 を満たす整数 x , y ,z , w の組 ( x,y, z,w ) の個数は ア 個である.
2015-13591-0402
【1】(2) 4 個の白球と 6 個の赤球を無作為に並べて,輪をつくる.このとき,白球が隣り合わない確率は イ ウ であり, 4 個の白球がすべて隣り合う確率は エ オ である.
2015-13591-0403
【2】 三角形 OAB において OA =4 ,OB =5 ,AB =6 とする.三角形 OAB の外心を H とするとき
OH→ = カ キ ⁢ OA→ + ク ケ ⁢ OB →
である.
2015-13591-0404
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【3】 関数
f⁡( x)= tan2⁡ x+8⁢ cos⁡2⁢ x( 0<x< π 2)
は, x= コ サ ⁢ π のとき,最小値 シ をとる.
2015-13591-0405
A方式 2月18日実施
【4】 点 P が放物線 y =2⁢ x2- x 上を動くとき,点 P における放物線 y =2⁢ x2- x の接線と放物線 y =-x2 +1 とで囲まれる部分の面積の最小値は
ス⁢ セ 54
2015-13591-0406
A方式 2月18日実施
【5】 直線
l:x ⁢sin⁡ θ+y⁢ cos⁡θ =1 (0< θ< π2 )
に接する 4 つの円を考える.
x⁢sin ⁡θ+y ⁢cos⁡θ <1 の領域で 2 つの円は互いに接しており,そのうち 1 つの円は直線 l と x 軸に,もう一方の円は直線 l と y 軸に接している.これらの円の半径はいずれも r 1 である.このとき
r1 = 1 ソ ⁢ t2+ タ ⁢ t (ただし t =sin⁡θ +cos⁡θ )
となる.
残りの 2 つの円は, x⁢sin ⁡θ+y ⁢cos⁡θ >1 の領域で互いに接しており,そのうち 1 つの円は直線 l と x 軸に,もう一方の円は直線 l と y 軸に接している.これらの円の半径はいずれも r 2 である.このとき
r2 = 1 チ ⁢ t2+ ツ ⁢ t+ テ (ただし t =sin⁡θ +cos⁡θ )
したがって
ト < r1 r2 ≦ ナ+ ニ
2015-13591-0407
B方式 2月18日実施
【4】 放物線 y =-x2 +2⁢ x+2 と x 軸によって囲まれた部分を D とする.
(1) D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積は ス⁢ セ ソ ⁢ π である.
(2) D を y 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積は タ + チ ツ テ ⁢ π である.
2015-13591-0408
【5】 曲線 C :y= x3 上に,次のようにして点 P1 , P 2 , P3 , ⋯ , Pn , ⋯ をとる.
(ⅰ) P1 は C 上の与えられた点とする.
(ⅱ) Pn を通り, Pn とは異なる点で C と接する直線が 1 つだけ存在するとき,その直線を l n とし, ln と C との接点を Pn +1 とする.もしこのような直線 l n が存在しない場合には Pn +1 は Pn と同一の点とする.
点 Pn の x 座標を x n とするとき,次の問に答えよ.
(1) 直線 l n が存在する場合 xn+1 = ト ナ ⁢ x n である.
(2) P1 を原点とするとき limn→ ∞x n = ニ である.
(3) P1 を点 ( 2,8 ) とするとき limn→ ∞x n = ヌ である.