2015　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　整式$P(x)$を$(x-1)(x-4)$で割ると余りは$43x-35$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$39x-55$であるという．このとき，$P(x)$を

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

で割ったときの余りを求めよ．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　座標平面に$4$点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,-1)\text{，}\mathrm{C}(-1,1)\text{，}\mathrm{D}(-1,-1)$がある．実数$x$が$0\leqq x\leqq 1$の範囲にあるとき，$2$点$\mathrm{P}(x,0)\text{，}\mathrm{Q}(-x,0)$を考える．このとき，$5$本の線分の長さの和

$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ}$

が最小となるような$x$の値を求めよ．ただし，$x=0$のときは$\mathrm{PQ}=0$とする．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$1$から$10$までの自然数からなる集合$\{1,2,\cdots ,10\}$の中から異なる$3$つの数を選ぶとする．このとき，選んだ数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　座標平面において楕円$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a}}+y^2=1$を考える．ただし，$a$は$a>0$をみたす定数とする．楕円$E$上の点$\mathrm{A}(0,1)$を中心とする円$C$が，次の$2$つの条件をみたしているとする．

(ア)　楕円$E$は円$C$とその内部に含まれ，$E$と$C$は$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で接する．

(イ)　$▵\mathrm{APQ}$は正三角形である．

　このとき，$a$の値を求めよ．

【２】　$3$種類の記号$a\text{，}b\text{，}c$から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．このような記号列のなかで，$a$がちょうど偶数個含まれるようなものの総数を$g(n)$とする．ただし，$0$個の場合も偶数個とみなす．たとえば，$g(1)=2\text{，}g(2)=5$である．

(1)　自然数$n\geqq 1$に対して$g(n+1)=g(n)+3^n$が成り立つことを示せ．

(2)　$g(n)$を求めよ．

(3)　一般に，$a$を含む$m$種類の記号から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．ただし，$m\geqq 2$とする．このような記号列のなかで，$a$がちょうど奇数個含まれるようなものの総数を$k_m(n)$とする．自然数$n\geqq 1$に対して，$k_m(n)$を求めよ．

【３】　平面上に長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{n}$がある．また，$a$は$a>1$をみたす定数とする．平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{y}$を

$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}-a(\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$

により定める．ただし，$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{n}$はベクトルの内積を意味し，$a(\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{n})$はその$a$倍の実数を表している．

(1)　すべてのベクトル$\overrightarrow{x}$に対して$\left|\overrightarrow{x}\right|=\left|\overrightarrow{y}\right|$が成り立つための必要十分条件は，$a=2$であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{x}\ne 0$とする．$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とし，$\overrightarrow{y}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\varphi$とする．このとき，$a$と$\cos \theta$を用いて$\cos \varphi$を表せ．

【４】　座標平面の第$1$象限に曲線$C_0\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}+x\text{（}x>0\text{）}$と曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$がある．$C_0$上の点$(a,{\displaystyle \frac{1}{a}}+a)$における$C_0$の接線を$l$とする．このとき，$l$は曲線$C$と$2$点で交わっているとする．

(1)　このように，接線$l$と曲線$C$が$2$点で交わる$a$の範囲を求めよ．

(2)　接線$l$と曲線$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　上の(2)で求めた面積を$S(a)$とするとき，

${\displaystyle \frac{a^3}{1-a^2}}<S(a)<{\displaystyle \frac{2a}{1-a^2}}$

が成り立つことを示せ．