2015　早稲田大学　人間科学部センター利用MathJax

【１】　以下の問に答えよ．

(1)　$\sqrt{3}$は無理数である．このことを「背理法」を用いて証明せよ．

(2)　$xy$が無理数ならば，$x\text{，}y$の少なくとも一方は無理数である．このことを「対偶」を用いて証明せよ．

(3)　$\sin \theta \text{，}\cos \theta$がともに有理数ならば，任意の自然数$n$に対して，$\sin (n\theta )\text{，}\cos (n\theta )$はともに有理数である．このことを「数学的帰納法」を用いて証明せよ．

【２】　ある$N$人の名前（同じ名前の者はいないものとする）がそれぞれに書かれた$N$個のボールが箱の中に入っている．この$N$人が，$1$人$1$個ずつこの箱から無作為にボールを取り出すとき，自分の名前が書かれたボールを手に$1$する人が少なくとも$1$人いる確率を$P_N$とする．

　$N\geqq 3$における$P_N$を$P_2\text{，}{P}_3\text{，}\cdots \text{，}{P}_{N-1}$によって表せ．

【３】　空間内で，右図のような長方形$\mathrm{ABCD}$と$\mathrm{ABEF}$を考える．$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{FE}=3\text{，}$$\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=\mathrm{AF}$$=\mathrm{BE}=4$とする．さらに，$\angle \mathrm{FAD}=45\mathrm{°}$とする．

　いま点$\mathrm{M}$は$\mathrm{BD}$上を移動し，点$\mathrm{N}$は$\mathrm{EA}$上を移動し，$\mathrm{BM}=\mathrm{EN}=c$とする．ただし，$0<c<5$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{MN}$の長さを$c$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{MN}$の長さが最小となるときの$c$の値を求めよ．

(3)　平面$\mathrm{MNA}$に垂直なベクトルと，平面$\mathrm{MNB}$に垂直なベクトルのなす角を$\theta$とする．$\mathrm{MN}$の長さが最小のとき，$|\cos \theta |$の値を求めよ．

【４】　点$\mathrm{P}(x,y)$が，円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$上の$y>0$の部分を動くとき

$f={\displaystyle \frac{{(x-a)}^2+y^2}{(x-a)y}}$

の最小値を考える．ただし，$a$は定数で$-\sqrt{2}<a<-1$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$t={\displaystyle \frac{y}{x-a}}$とするとき，$f$を$t$を用いて表せ．

(2)　$f$の最小値を求めよ．

【５】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{(y-3)}^2=4$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．