2015　南山大　経営学部2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　定数$a$と整式$P$に対して，整式$2x^2+axy+3y^2+x-3$は$(x-y-1)P$の形に因数分解できる．このとき，$a=\boxed{\text{ア}}$であり，$P=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積が$12\sqrt{6}$であり，その辺の長さの比は$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=5:6:7$である．このとき，$\sin \angle \mathrm{ABC}=\boxed{\text{ウ}}$となり，$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　正の実数$x\text{，}y$は$x^2=100y$を満たす．このとき，$8{({\log }_{10}x)}^3-{({\log }_{10}y)}^3$の最小値は$\boxed{\text{オ}}$であり，この最小値を与える$x\text{，}y$の値は$(x,y)=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$m\text{，}n$を整数とする$x$の$2$次方程式$x^2+(2m+1)x+n=0$は，異なる$2$つの虚数解をもつ．これらの解を$a\pm bi$（$a\text{，}b$は実数で，$b>0\text{，}i$は虚数単位）とするとき，$b$を$m$と$n$で表すと$b=\boxed{\text{キ}}$である．また，$a^2+b^2\leqq 1$が成り立つような$m\text{，}n$の値は$(m,n)=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$2$つの実数$a\text{，}k$に対して，関数$f(x)=x^2+ax-a-2$は$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_{-1}^0}xf(t)dt-{\displaystyle {\int }_{k-2}^k}f(t)dt$を満たす．このとき，$a=\boxed{\text{ケ}}$であり，$k=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　直線$l\text{：}y=x+a$と，$2$つの異なる放物線$C_1\text{：}y=2x^2\text{，}{C}_2\text{：}y=2x^2+bx+c$がある．$C_1$と$C_2$は点$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$で交わり，$l$と$C_1$は点$\mathrm{A}$で接し，$l$と$C_2$は点$\mathrm{B}$で接している．

(1)　$a$の値と$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　$b\text{，}c$の値と$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(3)　$C_1\text{，}{C}_2$と$l$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　実数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$は，$3$つの条件$\alpha +\beta +\gamma =4\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}+{\displaystyle \frac{1}{\gamma }}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\gamma }^2}}={\displaystyle \frac{49}{36}}$を満たす．ただし，$\alpha \leqq \beta \leqq \gamma$である．このとき，積$\alpha \beta \gamma$の値は$\alpha \beta \gamma =\boxed{\text{ウ}}$であり，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の値は$(\alpha ,\beta ,\gamma )=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$1$個のさいころを投げて，$1$または$2$または$3$の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$1$だけ進み，$4$または$5$の目が出たときには$\mathrm{P}$は動かない．また，$6$の目が出たときには$\mathrm{P}$は原点に戻る（原点の位置にあれば動かない）．さいころを$3$回続けて投げたとき，$\mathrm{P}$の座標が$2$である確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，$\mathrm{P}$が原点の位置にある確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$がある（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）．$\{a_n\}$は$a_1=4\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{4a_n+3}{a_n+2}}$を満たし，$\{a_n\}$と$\{b_n\}$との間には$b_n={\displaystyle \frac{a_n-3}{a_n+1}}$という関係が成り立つ．このとき，$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{ケ}}$であり，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする空間に，$3$点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,2)$がある．ただし，$a>0\text{，}$$b>0$である．また，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，直線$\mathrm{CN}$上に点$\mathrm{P}$がある．

(1)　実数$k$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+k\overrightarrow{\mathrm{CN}}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$k\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$が最小となるとき，$k$を$a\text{，}b$で表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$が最小となる$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{CN}$の中点であるとき，$b$を$a$で表せ．

(4)　(3)のとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積が$3\sqrt{5}$となるような$a$と$b$の値を求めよ．