2015　南山大　経済学部Ａ・Ｂ2月10日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　関数$f(x)=2x^2+4x+c$は$x=\boxed{\text{ア}}$のときに最小値をとる．また，$-2\leqq x\leqq 2$の範囲において$f(x)$の最大値が$2$であるとき，定数$c$の値は$\boxed{\text{イ}}$となる．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　整式$P(x)=x^3+ax+b$を$x-2$で割ると余りが$-6\text{，}x+3$で割ると余りが$-16$である．このとき，実数$a\text{，}b$の値は$(a,b)=\boxed{\text{ウ}}$である．また，方程式$P(x)=0$の正の解は$x=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$3$次方程式$x^3-3\sqrt{2}{x}^2+9x-a=0$の異なる$3$つの解の実部がすべて等しいとき，その実部の値は$\boxed{\text{オ}}$であり，実数$a$の値は$a=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　${\log }_3{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}+{\log }_9{\displaystyle \frac{2}{3}}$を計算すると$\boxed{\text{キ}}$であり，方程式${\log }_3{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{3x}}={\log }_9{\displaystyle \frac{x}{3}}$を解くと，$x=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　曲線$y=2x^3-8x^2+12x\text{（}x>0\text{）}$がある．この曲線上の点$\mathrm{P}(a,2a^3-8a^2+12a)$と原点を通る直線の傾きが最小になるときの$a$の値は$\boxed{\text{ケ}}$であり，その傾きは$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(3,0)\text{，}\mathrm{B}(2,2)$がある．また，原点$\mathrm{O}$に対して$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$となる点$\mathrm{P}$をとる．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を$(s,t)$とするとき，線分$\mathrm{OP}$の長さを$s\text{，}t$で表せ．

(2)　$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{BP}$の中点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

(4)　(2)と(3)で求めた$2$つの軌跡の共有点を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　正四面体と正六面体の各面に絵の具で色を塗る．$1$つの面には$1$色しか塗らない．また，回転させて一致する塗り方は同じとみなす．絵の具が$12$色あるとき，正四面体を面の色がすべて異なるように塗る塗り方は$\boxed{\text{キ}}$通りである．また，絵の具が$8$色あるとき，正六面体を面の色がすべて異なるように塗る塗り方は$\boxed{\text{ク}}$通りである．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，点$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{PQ}$に垂線を下し，この垂線と$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，それぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\boxed{\text{ケ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$2$次関数$f(x)=p{x}^2+qx+r$は，すべての$x$に対して正の値をとるとする．放物線$y=f(x)$上に点$\mathrm{A}(a,f(a))$と点$\mathrm{B}(b,f(b))$をとる．ただし，$a<b$とする．

(1)　$x$が$a$から$b$まで変化するときの$f(x)$の平均変化率を求めよ．

(2)　$x=c$における微分係数$f^{\prime }(c)$が(1)で求めた平均変化率に一致するとき，$c$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$c$を用いて，点$\mathrm{C}$を$(c,f(c))$と定める．三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

(4)　直線$\mathrm{AB}$と放物線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を$T$とする．(3)で求めた$S$と$T$の比$S:T$を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は次の関係を満たす．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}\sqrt{a_n}=3^{2n-1}{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2\text{，}{a}_3$の値を求めよ．

(2)　$b_n={\log }_3{a}_n$とするとき，$b_{n+1}$を$b_n$と$n$で表せ．

(3)　$c_n=b_{n+1}-b_n$とするとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，関数$f(x)=x+\sin 2x$の最大値は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　関数$f(x)=|x-a|\sqrt{x}$がある．ただし，$x>0$であり，$a$は正の定数である．

(1)　$x\ne a$のとき，$f^{\prime }(x)$を$a$で表せ．

(2)　$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(4,f(4))$における接線$l$の傾きが$-1$であるとき，$a$の値を求めよ．

(4)　(3)のとき，$\mathrm{A}$以外の$\mathrm{C}$と$l$の共有点の座標を求めよ．