2015　南山大学　理工学部Ｂ方式2月11日実施MathJax

2015-14576-0601

2015　南山大学　理工学部Ｂ方式

2月11日実施

易□　並□　難□

【１】　の中に答を入れよ．

(1)　 $a$ を実数とし， $2$ 次方程式 $x^{2} + 2 (a + 1) x + 3 (a^{2} + 4 a + 3) = 0$ を考える． $2$ 次方程式の $1$ つの解が正で他の解が負となるとき， $a$ のとりうる値の範囲は $ア$ である．また， $2$ 次方程式が $2$ つの異なる正の解をもつとき， $a$ のとりうる値の範囲は $イ$ である．

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2月11日実施

易□　並□　難□

【１】　の中に答を入れよ．

(2)　数列 ${a_{n}}$ が $a_{1} = 5 ， a_{2} = 7 ， a_{3} = 11$ を満たすとする．数列 ${a_{n}}$ の階差数列が等差数列であるとき $a_{n} = ウ$ である．また，数列 ${a_{n}}$ の階差数列が等比数列であるとき $a_{n} = エ$ である．

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2015　南山大学　理工学部Ｂ方式

2月11日実施

易□　並□　難□

【１】　の中に答を入れよ．

(3)　 $0 ≦ θ < 2 π$ とする． $x = \sin θ + \cos θ$ のとりうる値の範囲は $オ$ である．また， $y = 2 \sin θ \cos^{2} \frac{θ}{2} + \cos θ$ のとりうる値の範囲は $カ$ である．

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易□　並□　難□

【１】　の中に答を入れよ．

(4)　袋 $A$ には $3$ 個の赤玉が，袋 $B$ には $3$ 個の白玉が入っている．「袋 $A$ から $2$ 個の玉を取り出して袋 $B$ に入れ，続いて袋 $B$ から $2$ 個の玉を取り出して袋 $A$ に入れる」という試行を考える．

a)　試行を $1$ 回行った後に袋 $A$ に $3$ 個の赤玉が入っている確率は $キ$ である．

b)　試行を $2$ 回行った後に袋 $A$ に $3$ 個の赤玉が入っている確率は $ク$ である．

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2015　南山大学　理工学部Ｂ方式

2月11日実施

易□　並□　難□

【２】　 $▵ OAB$ において，辺 $OA$ の中点を $C ，$ 辺 $OB$ を $2 : 1$ に内分する点を $D$ とし，線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする．また， $\vec{OA} = \vec{a} ，$ $\vec{OB} = \vec{b}$ とする．

(1)　 $\vec{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ．

(2)　直線 $AD$ 上に点 $Q$ があり $\vec{OQ}$ と $\vec{BC}$ が平行であるとき， $r = \frac{| \vec{AQ} |}{| \vec{AD} |}$ の値を求めよ．

(3)　(2)のとき， $▵ ODQ$ と $▵ PAB$ の面積比 $\frac{▵ ODQ}{▵ PAB}$ を求めよ．

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2月11日実施

易□　並□　難□

【３】　関数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ を考える．

(1)　 $f (x)$ の導関数を求めよ．

(2)　 $- \frac{1}{2} \log 2 ≦ x ≦ \frac{1}{2} \log 2$ のとき， $f (x)$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　定積分

$I = \int_{- \frac{1}{2} \log 2}^{\frac{1}{2} \log 2} (e^{x} - e^{- x} + \sqrt{2}) (e^{x} + e^{- x}) d x$

を求めよ．

(4)　 ${(e^{x} - e^{- x})}^{3}$ を展開せよ．

(5)　定積分

$J = \int_{- \frac{1}{2} \log 2}^{\frac{1}{2} \log 2} | e^{3 x} - 3 e^{x} + 3 e^{- x} - e^{- 3 x} | (e^{x} + e^{- x}) d x$

を求めよ．

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