2015　同志社大　文，経済学部2月6日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　整式$P(x)$は$(x-2)(x+3)$で割ると余りは$5x-2$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$-x+10$である．このとき，$P(x)$を$(x+3)(x-3)$で割ると余りは$(\boxed{\text{ア}})x+(\boxed{\text{イ}})$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　初項が$a_1=-24$で公差が$12$の等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=\boxed{\text{ウ}}$である．また，数列$\{b_n\}$の初項$b_1$から第$n$項までの和$T_n$が$T_n=5^n-1$のとき，一般項は$b_n=\boxed{\text{エ}}$である．このとき，初項が$c_1=-1$で漸化式$c_{n+1}=c_n+S_n-b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$により定まる数列$\{c_n\}$の一般項は$c_n=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　曲線$C\text{：}y=|x^2-4x-5|$と直線$l\text{：}y=k$の共有点の個数は$3$個である．このとき，実数$k$の値は$k=\boxed{\text{カ}}$であり，直線$l$と曲線$C$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(4)　$1$個のサイコロを$3$回投げる．出た目の最大値が$5$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．出た目の最大値が$5\text{，}$かつ最小値が$1$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．$3$つの出た目の積が$2$の倍数であり，かつ$3$の倍数ではない確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　連立不等式

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 2\\ x-y\leqq \sqrt{2}\\ (1-\sqrt{2})(x+1)\leqq y+1\end{array}$

の表す領域を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$k=x+\sqrt{3}y$がとる値の最大値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．また，$k$の最小値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$m=x^2+y^2+\sqrt{2}x-\sqrt{6}y$がとる値の最大値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．また，$m$の最小値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【３】　$a$を，$a>1$を満たす定数とする．関数

$y=a^{3x}-3a^{2x+1}+3a^{x+2}+3^{-x+2}-3a^{-2k+1}+a^{-3x}$

を考える．$t=a^x+a^{-x}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$t$がとる値の範囲を求めよ．

(2)　$a^{3x}+a^{-3x}$を$t$を用いて表せ．

(3)　$y$を$a$と$t$を用いて表せ．

(4)　$y$の最小値を$a$を用いて求めよ．