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2015-14861-0401
2015 同志社大学 政策,文化情報,スポーツ健康科学部文系2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数を,解答用紙の同じ記号の付いた の中に記入せよ.
(1) 6 個の数字 1 , 2 ,3 , 4 ,5 , 6 を 1 個ずつ使って 6 桁の数を作る.偶数は ア 個でき, 3 の倍数は イ 個できる.また, 5 の倍数は ウ 個でき, 6 の倍数は エ 個できる.
(2) 9 個の数字 1 , 2 ,3 , 4 ,5 , 6 ,7 , 8 ,9 の中から異なる数字を 6 個選び 6 桁の数を作る.全部で オ 個の数ができる.この 6 桁の数の中で 10 万の位が 1 である数は全部で カ 個でき, 10 万の位が 1 であり 1 万の位が 2 である数は全部で キ 個できる.また,この 6 桁の数の中で, 139876 は小さいほうから数えて ク 番目の数である.さらに,この 6 桁の数の中で小さいほうから数えて 2014 番目の数は ケ であり, 2015 番目の数は コ である.
2015-14861-0402
【2】 ▵ABC の内心を I とし,直線 AI と底辺 BC との交点を D とする.また, AB=x , AC=y , BC=1 とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) BD と DC を x , y を用いて表せ.
(2) ∠BAD= θ ,AD =z とする. cos⁡θ を x , y ,z を用いて表せ.
(3) AD を x , y を用いて表せ.
(4) AI を x , y を用いて表せ.
(5) a を 1 より大きい定数とする. x+y =a であるとき, AI の最大値を求めよ.
2015-14861-0403
〔ア〕と〔イ〕の選択
【3】〔ア〕 2 つの変量 x , y の 10 個のデータ ( x1, y1 ), ( x2, y2 ), ⋯ ,( x10, y10 ) が与えられており,これらのデータから x1+ x2+ ⋯+x 10=55 , y1 +y2 +⋯+ y10= 75 , x12 +x2 2+⋯ +x10 2=385 , y1 2+ y22 +⋯+ y102 =645 ,x 1⁢y 1+y 2⁢y 2+⋯ +x10 ⁢y10 =445 が得られている.また, 2 つの変量 z , w の 10 個のデータ ( z1, w1 ), ( z2, w2 ), ⋯ ,( z10, w10 ) はそれぞれ
zi= 2⁢xi +3 ,w i=y i-4 ( i= 1, 2 ,⋯ , 10 )
で得られるとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 変量 x , y ,z , w の平均 x‾ , y‾ , z‾ , w‾ をそれぞれ求めよ.
(2) 変量 x の分散を sx2 とし, 2 つの変量 x , y の共分散を s xy とする.このとき, 2 つの等式
x1 2+ x22 +⋯+ x10 2=10 ⁢( sx2 +x ‾2 ) ,
x1⁢ y1+ x2⁢ y2+ ⋯+x 10⁢y 10=10 ⁢( sxy +x‾ ⁢y‾ )
がそれぞれ成り立つことを示せ.
(3) x と y の共分散 s xy および相関係数 r xy をそれぞれ求めよ.また, z と w の共分散 s zw および相関係数 r zw をそれぞれ求めよ.
2015-14861-0404
【3】〔イ〕 座標平面上に相異なる n 個の点 Pi ( xi, yi ) ( i=1 ,2 , ⋯ ,n ) がある.ただし, n≧2 とする.点 Q ( x,y ) と各点 Pi ( xi, yi ) との距離を L i とし,それらの 2 乗和を V ⁡(x ,y) = ∑i= 1n Li 2 とする.また,
zi =2⁢ xi+ 3 ,w i=y i-4 ( i= 1 ,2 , ⋯ ,n )
とし, n 個の点 Ri ( zi, wi ) ( i= 1, 2 ,⋯ , n ) を考える.点 Q ( x,y ) と各点 Ri ( zi, wi ) との距離を K i とし,それらの 2 乗和を W ⁡(x ,y) = ∑i= 1n Ki 2 とする.また, p= ∑i =1n xi ,q= ∑ i=1 n xi2 , s= ∑i =1n yi , t= ∑i= 1n yi2 とおく.
このとき,次の問いに答えよ.
(1) V⁡( x,y ) を最小にする点 Q の座標を ( a,b ) とする. a ,b と最小値 v を n , p ,q , s ,t を用いて表せ.
(2) W⁡( x,y ) を最小にする点 Q の座標を ( c,d ) とする. c ,d と最小値 w を n , p ,q , s ,t を用いて表せ.