2015　同志社大　神・心理・商・地域文化学部2月9日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　実数$\theta$が$\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}=2$を満たすとき，$\tan \theta =\boxed{\text{ア}}\text{，}\sin \theta =\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　座標平面内の$3$点$\mathrm{A}(-6,3)\text{，}\mathrm{B}(-4,-1)\text{，}\mathrm{C}(3,6)$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心の座標は$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})\text{，}$半径は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　実数$x$は不等式${\log }_3(x-1)+{\log }_{\frac{1}{3}}(5-x)\leqq 0$を満たす．このとき，$x$がとり得る値の範囲は$\boxed{\text{カ}}$であり，$y=9^x-30\cdot 3^x+227$は，$x=\boxed{\text{キ}}$のとき最大値$\boxed{\text{ク}}$をとる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(4)　$2$枚のコインを同時に繰り返し投げて，両方とも表の面が出た回数が$3$回となった時点でコイン投げを終了する．ちょうど$5$回目で終了する確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，両方とも裏の面が出た回数が$2$回以下であり，かつ，ちょうど$6$回目で終了する確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　関数$f(x)=-x^3+6x^2$とする．$p$を実数とし，曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(p,f(p))$における接線を$l$とおく．曲線$C$と直線$l$とが，$\mathrm{P}$とは異なる点$\mathrm{Q}$を共有点をもち，直線$l$と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．また，$l$と直交し原点$\mathrm{O}$を通る直線を$m$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l\text{，}$直線$m$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{PQ}$を$1:4$に外分するとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(4)　直線$m$と曲線$C$の共有点の個数が$1$個となるための$p$の範囲を求めよ．

【３】　$\angle \mathrm{AOB}$が直角の直角三角形$▵\mathrm{AOB}$において，$\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OB}=2$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおき，点$\mathrm{P}$は正の実数$p$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=-p\overrightarrow{a}$を満たす点とする．また，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AB}$上にとり，かつ直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$は直交するものとする．直線$\mathrm{PQ}$と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{S}$とする．点$\mathrm{R}$を線分$\mathrm{PQ}$上にとり，かつ線分$\mathrm{OB}$が$\angle \mathrm{ROQ}$の二等分線となるようにする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}p$を用いて表せ．また，$p$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}p$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}p$を用いて表せ．

(4)　$▵\mathrm{OSQ}$の面積が$▵\mathrm{OSR}$の面積の$2$倍となるとき，$p$の値を求めよ．

(5)　$▵\mathrm{OAQ}$の面積と$▵\mathrm{OPR}$の面積が等しくなるとき，$p$の値を求めよ．