2015　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

　$f(\theta )=\cos 3\theta +\cos 2\theta +\cos \theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について考える．$t=\cos \theta$とおくと，$f(\theta )$を$t$の$3$次式$g(t)=a{t}^3+b{t}^2+ct+d$として表せる．ただし，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}\text{，}d=\boxed{\text{エ}}$である．$f(\theta )=0$を満たすのは$\theta =\boxed{\text{オ}}$のときであり，$f(\theta )>0$を満たす$\theta$の範囲は$\boxed{\text{カ}}$である．$f(\theta )$の最大値は$\boxed{\text{キ}}$であり，そのとき$\theta =\boxed{\text{ク}}$である．$f(\theta )$の最小値は$\boxed{\text{ケ}}$であり，そのとき$\cos \theta =\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$r$を$1$と異なる正の定数とする．

$a_1=r\text{，}{a}_2=1+r\text{，}{a}_{n+2}={\displaystyle \frac{1+a_{n+1}}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5\text{，}{a}_6$を求めよ．

(2)　$a_n$を$r$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{2015}}{a}_k$を$r$を用いて表せ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{2015}}{r}^{k-1}{a}_k$を$r$を用いて表せ．

【３】　$10$個の玉を$3$個の箱に分けて入れる．ただし，どの箱にも必ず$1$個以上の玉を入れるものとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$10$個の玉に区別がなく，また$3$個の箱にも区別がない場合，玉の入れ方の総数は何通りあるか．

(2)　$10$個の玉に区別がなく，また$3$個の箱にはそれぞれ区別がある場合，玉の入れ方の総数は何通りあるか．

(3)　$10$個の玉にはそれぞれ区別があるが，$3$個の箱には区別がないとする．そのとき，$2$つの箱に$4$個ずつ，残り$1$つの箱に$2$個の玉を入れるとするとき，入れ方の総数は何通りあるか．

(4)　$10$個の玉にはそれぞれ区別があるが，また$3$個の箱のうち$2$つの箱は同じで区別がなく，残りのもう$1$つの箱とは区別ができる場合を考える．$3$つの箱のうち$2$つに$4$個の玉を入れ，残り$1$つの箱に$2$個の玉を入れるとするとき，入れ方の総数は何通りあるか．