2015　同志社大　理工学部2月10日実施MathJax

$x^2+4y^2\leqq 4\text{，}x+2y\geqq 2$

の表す領域を$D$とする．点$(x,y)$が$D$内を動くとき，$2x+y$の最小値は$\boxed{\text{エ}}$である．また，最大値は$\boxed{\text{オ}}$であり，そのときの$x\text{，}y$は$x=\boxed{\text{カ}}\text{，}y=\boxed{\text{キ}}$である．

(1)　$x$軸，直線$x=t$と曲線で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積を$T(t)$とする．次の極限値を求めよ．

$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T(x)}{S(t)}}$

(3)　点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(4)　台形$\mathrm{OPQR}$の面積を$U(t)$とする．次の極限値を求めよ．

$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{U(t)}{S(t)}}$

(1)　点$\mathrm{P}$の座標$(p,q,r)$を求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{PABC}$の体積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線の足$\mathrm{H}(p,q,0)$に対して，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CH}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ求めよ．

(1)　点$\mathrm{P}(n\pi ,f(n\pi ))$における$C$の接線と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}(n\pi ,f(n\pi ))$における$C$の法線と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(3)　上の(1)と(2)で求めた点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と点$\mathrm{P}$の$3$点でできる$▵\mathrm{ABP}$の面積$T_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{T}_n$の和を求めよ．