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2015 立命館大学 文系学部A方式2月1日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(1)  10 個の数字 0 1 2 9 を使ってできる次のような 4 桁の整数は何個あるか.ただし,同じ数字を何回使ってもよい.

(a) つくりうるすべての整数は 個ある.

(b) 各位の数字がすべて異なる整数は 個ある.

(c) 各位の数字がすべて同じである整数は 個ある.

(d) 各位が異なる 3 つの数字からなる整数は 個ある.

(e) 各位が異なる 2 つの数字からなる整数は 個ある.

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易□ 並□ 難□

【1】

(2)  x>1 で定義された関数 y =( log2 x) 2+ (logx 2) 2 -log 2x -logx 2+a があり,最小値は - 2 である.ただし, a は定数とする.

  log2 x+log x2= t とするとき, t のとりうる値の範囲は, t であり,関数 y t の式で表すと, y= となる.したがって, y が最小となるのは, t= のときである.このとき x = a= である.

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【1】

(3)  xn =19n n は正の整数)は,二項定理を利用すると次のように表すことができる.

xn =20n - 20n- 1+ +( -1) n-1 20+ (-1 )n

 次に x n 400 で割ったときの余りを y n で表す.ただし, yn 0 yn <400 を満たす整数とする.このとき, y1 =y21 = y2 =y22 = である.また y n の最大値は で,最小値は である.

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易□ 並□ 難□

【2】 株式取引について以下のモデルを考える.

 ある会社の株式は期間 n =1 2 252 で取引される. Pn は第 n 期での株式の 1 株あたりの価格を表し, Xn は投資家が第 n 期で出す注文を表す.例えば, Xn =1 は「 1 株を買う」という買い注文を意味し, Xn =-0.5 は「 0.5 株を売る」という売り注文を意味する.

 価格 P n は注文 X n および前期の価格 P n-1 に依存し,次の関係式で表されるものとする.

Pn= Pn- 1+ 1 4 X n ,ただし, P0 =0

 投資家の第 n 期での取引利益 R n は価格 P n と注文 X n に依存し,次の関係式で表されるものとする.

Rn= (1- Pn) Xn

 ここでは,各期間の取引において,投資家はその期の取引利益が最大になるように注文を決める.次の各問いに答えよ.

(1) 第 1 期では,注文は X1= 株式価格は P1= 取引利益は R1= である.

(2) 第 n 期での注文 X n および株式価格 P n P n-1 を用いて表すと, Xn= - P n-1 Pn = + Pn- 1 となる.

(3) 第 n 期での価格 Pn 注文 X n および投資利益 R n n を用いて表すと, Pn = - 1 Xn =1 2 R n= 12 となる.

(4) 第 1 期から第 n までの累計取引利益 t =1n R t は, t= 1n Rt = - 1 2 となる.

(5)  1-P n0.01 を満たすもっとも小さい n である.

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【3】 関数 y =sin2 θ+2 a (sin θ+ cosθ )+ a2 0θ π を考える.ただし, a は定数とする.このとき,次の各問いに答えよ.

(1)  x=sin θ+cos θ 0θ π とおいて, y x の関数で表せ.

(2)  x のとりうる範囲を求めよ.

(3)  x が(2)で求めた範囲を動くとき,関数 y の最小値は a の関数 m (a ) として表すことができる.この関数 m (a ) を求めよ.

(4) 関数 m (a ) の極値を求めよ.

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