2015　立命館大　文系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}}$のとき，次の問いに答えよ．

$x^2+y^2$の値は$\boxed{\text{ア}}$であり，$x^3+y^3$の値は$\boxed{\text{イ}}$である．さらに，${(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^3+{(y+{\displaystyle \frac{1}{y}})}^3$の値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(2)　放物線$F\text{：}y=x^2-2x$上の点で，$x$座標が$3$である点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$における接線$l$の方程式は$y=\boxed{\text{エ}}$である．

　次に，放物線$F$の頂点$\mathrm{R}$を中心とする円$C$が接線$l$と接するとき，円$C$の半径は$\boxed{\text{オ}}$である．

　また，円$C$の円周上を動く点$\mathrm{Q}$がある．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を結んでできる三角形$\mathrm{PQR}$の面積のなかで，もっとも大きい面積は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】

(3)　$a\text{，}b$を定数とする関数$f(x)=-x^3+a{x}^2+bx$は，$x=1$のとき極大値をとる．また関数$y=f(x)$のグラフは原点に関して対称である．

　このとき，$a=\boxed{\text{キ}}\text{，}b=\boxed{\text{ク}}$である．

　また，$f(x)$の極大値は$\boxed{\text{ケ}}$であり，極小値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人の$1$週間あたりの収入の金額$X$と，数値で表した幸福度$Y$を調査したところ，右の結果が得られた．

　ただし，収入の金額$X$は$1$万円単位で，幸福度$Y$は数値が大きいほど幸福であることを示すものとする．

　ここで，幸福度$Y$には，収入$X$の$1$次関数$aX+b$で予測できる部分と，それ以外の部分$Z$があり，次の式で表すことができるとする．

$Y=aX+b+Z\cdots \text{[1]}$

ただし，$a$と$b$は定数である．

　次の問いに答えよ．

(1)　この$a\text{，}b$を次のような方法で求めたい．

　[1]式の$Z$を誤差と考えて，$3$人の$Z^2$の和$Q$が最小になるとき，$a\text{，}b$が決まるものとする．$Q$を$a$と$b$について整理し表すと，次のようになる．

$Q=14a^2+\boxed{\text{セ}}{b}^2+12ab-\boxed{\text{シ}}a-28b+\boxed{\text{ス}}$

(2)　(1)で求めた$Q$が最小になる場合の定数$a$と定数$b$の値は次のようになる．

$a=\boxed{\text{セ}}\text{，}b=\boxed{\text{ソ}}$

(3)　(2)の結果から，$1$週間あたりの収入が$1.5$万円増えた場合，幸福度$Y$の数値は$\boxed{\text{タ}}$向上すると予測できる．

【３】　$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ重複を許さずに書かれた$n$枚のカードがあり，自然数$k$が書かれているカードを$N_k\text{（}k=1\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$と呼ぶ．$n$枚のカードを無作為に横一列に並べ，カード$N_k$が左からちょうど$k$番目にあるとき，カード$N_k$に「めぐり会い」が起きたという．たとえば，$6$枚のカード$N_1\text{，}{N}_2\text{，}\cdots \text{，}{N}_6$が$N_3{N}_2{N}_1{N}_6{N}_4{N}_5$と並んだときは，カード$N_2$に「めぐり会い」が起きたという．

　次の各問いに答えよ．

(1)　$N_1$から$N_3$までの$3$枚のカードを並べるとき，「めぐり会い」が起こる確率を求めよ．

(2)　$N_1$から$N_4$までの$4$枚のカードを並べる．どのカードにも「めぐり会い」が起こらない並び方のうち，左から$1$番目のカードが$N_2$である並び方をすべて書け．

(3)　$N_1$から$N_5$までの$5$枚のカードを並べるとき，どのカードにも「めぐり会い」が起こらない並び方は何通りあるか．

(4)　$N_1$から$N_6$までの$6$枚のカードを並べるとき，どのカードにも「めぐり会い」が起こらない確率を求めよ．