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2015-14891-0301
2015 立命館大学 理系学部A方式 (薬学部を除く)2月2日実施
易□ 並□ 難□
【1】 O を原点とする座標平面上の点 P ( 2⁢cos⁡ t,sin⁡ t) から直線 a ⁢x+1 -a2 ⁢y=0 におろした垂線の足を H とする.ただし, -1≦ a≦1 とする.
線分 PH の長さ h は
h=| ア ⁢ cos⁡t+ イ ⁢ sin⁡t |
である.
t が 0 ≦t≦2 ⁢π の範囲を動くとき,点 P の座標が ( ± ウ ,± エ ) (複号同順)のとき h は最大値 オ をとる.このときの ∠ OPH を θ 0 とする. cos⁡θ 0 は a を用いて表すと
cos⁡θ 0= カ
関数 f ⁡(a )= カ は定義域 - 1≦a≦ 1 において, a= キ のとき最小値 ク をとり, a= ケ のとき最大値 コ をとる.
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【2】 y=f ⁡( x) を y =sin⁡x ( 0≦x< π 2 ) の逆関数とする.
(1) f⁡( x) の定義域は サ ≦x< シ であり, f′⁡ (x) = ス である.部分積分法を用いると,
∫ f⁡( x)⁢ dx=x⁢ f⁡( x)- ∫ x⁢f′ ⁡(x )⁢d x=x⁢ f⁡( x)+ セ +C
を得る.ただし, C は積分定数とする.
(2) サ ≦x< シ を満たす x について関数 g ⁡(x ) を
g⁡( x)= ∫ 0x f⁡( t)⁢ dt
と定める.このとき,
g⁡( x)= x⁢f⁡ (x )+ ソ
であり,とくに g ⁡( 12 ) = タ である.また,
∫ 012 ソ ⁢ dx = チ
である.以上の結果と部分積分法を用いると,
∫ 012 g⁡( x)⁢ dx= ツ
( ス , セ , ソ は x を用いて答えよ.)
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【3】 2 つの数列 { an } , { bn } に対して
Sn= ∑ k=1 n (a k) 2 ,T n= ∑k =1n (b k) 2 ,U n= ∑k =1n ak ⁢bk
とおく.
(1) an =2n , bn =rn ( r>1 ) のとき, Sn = テ であり,
limn →∞ (U n) 2 Sn⁢ Tn = ト
である.この右辺は, r= ナ のとき,最大値 ニ をとる.
(2) an =2n , bn =n+ 1 のとき, Tn = ヌ , Un = ネ である.また,
limn →∞ n⋅ ( Un) 2S n⁢T n = ノ
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【4】 1 個のサイコロを投げる試行により,点 A が数直線上を動く.点 A は始め原点にあり, 3 以上の目が出たら正の方向に 1 移動し, 1 ,2 の目が出たら負の方向に 1 移動する.
(1) 3 回目の試行で点 A の座標が 1 となる確率は ハ である.また, 3 回目の試行で点 A の座標が 1 となり,かつ 6 回目の試行で点 A が原点にある確率は ヒ である.
(2) n-1 回までの試行では点 A の座標が 4 より小さく, n 回目の試行で点 A の座標が初めて 4 になる確率を P ⁡(n ) とする.このとき P ⁡(6 )= フ であり, P⁡( 8)= ヘ である.また, 8 回までの試行で点 A の座標が少なくとも 1 回 4 となる確率は ホ である.
(3) 100 回目の試行で点 A の座標が m となる確率を Q ⁡( m) とする. -50≦ k<50 を満たす整数 k に対して, Q⁡( 2⁢k+ 1)= マ であり, Q⁡( 2⁢k+ 2) Q⁡( 2⁢k) = ミ である.よって, Q⁡( m) は m = ム において最大値をとる.