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2015 立命館大学 理系学部A方式
(薬学部を除く)2月2日実施

易□ 並□ 難□

【1】  O を原点とする座標平面上の点 P ( 2cos t,sin t) から直線 a x+1 -a2 y=0 におろした垂線の足を H とする.ただし, -1 a1 とする.

 線分 PH の長さ h

h=| cost+ sint |

である.

  t 0 t2 π の範囲を動くとき,点 P の座標が ( ± ,± ) (複号同順)のとき h は最大値 をとる.このときの OPH θ 0 とする. cosθ 0 a を用いて表すと

cosθ 0=

である.

 関数 f (a )= は定義域 - 1a 1 において, a= のとき最小値 をとり, a= のとき最大値 をとる.

2015 立命館大学 理系学部A方式
(薬学部を除く)2月2日実施

易□ 並□ 難□

【2】  y=f ( x) y =sinx ( 0x< π 2 ) の逆関数とする.

(1)  f( x) の定義域は x< であり, f (x) = である.部分積分法を用いると,

f( x) dx=x f( x)- xf (x )d x=x f( x)+ +C

を得る.ただし, C は積分定数とする.

(2)  x< を満たす x について関数 g (x )

g( x)= 0x f( t) dt

と定める.このとき,

g( x)= xf (x )+

であり,とくに g ( 12 ) = である.また,

012 dx =

である.以上の結果と部分積分法を用いると,

012 g( x) dx=

である.

x を用いて答えよ.)

2015 立命館大学 理系学部A方式
(薬学部を除く)2月2日実施

易□ 並□ 難□

【3】  2 つの数列 { an } { bn } に対して

Sn= k=1 n (a k) 2 T n= k =1n (b k) 2 U n= k =1n ak bk

とおく.

(1)  an =2n bn =rn r>1 のとき, Sn = であり,

limn (U n) 2 Sn Tn =

である.この右辺は, r= のとき,最大値 をとる.

(2)  an =2n bn =n+ 1 のとき, Tn = Un = である.また,

limn n ( Un) 2S nT n =

である.

2015 立命館大学 理系学部A方式
(薬学部を除く)2月2日実施

易□ 並□ 難□

【4】  1 個のサイコロを投げる試行により,点 A が数直線上を動く.点 A は始め原点にあり, 3 以上の目が出たら正の方向に 1 移動し, 1 2 の目が出たら負の方向に 1 移動する.

(1)  3 回目の試行で点 A の座標が 1 となる確率は である.また, 3 回目の試行で点 A の座標が 1 となり,かつ 6 回目の試行で点 A が原点にある確率は である.

(2)  n-1 回までの試行では点 A の座標が 4 より小さく, n 回目の試行で点 A の座標が初めて 4 になる確率を P (n ) とする.このとき P (6 )= であり, P( 8)= である.また, 8 回までの試行で点 A の座標が少なくとも 1 4 となる確率は である.

(3)  100 回目の試行で点 A の座標が m となる確率を Q ( m) とする. -50 k<50 を満たす整数 k に対して, Q( 2k+ 1)= であり, Q( 2k+ 2) Q( 2k) = である.よって, Q( m) m = において最大値をとる.

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