2015　立命館大　文系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】

(1)

(a)　$n$は$2$以上の自然数とする．整式$x^n$を$x^2-3x+2$で割ったときの余りは，$\boxed{\text{ア}}$である．

(b)　整式$x^{2015}$を$x^2+x+1$で割ったときの余りは，$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(2)

(a)　$a>0\text{，}b>0$のとき，$(a+{\displaystyle \frac{2}{b}})(b+{\displaystyle \frac{8}{a}})$の最小値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，このとき$ab=\boxed{\text{エ}}$である．

(b)　$a>1$のとき，${\displaystyle \frac{a-1}{a^2-2a+5}}$の最大値は$\boxed{\text{オ}}$であり，このとき$a=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】

(3)

(a)　ibarakiの$7$文字から任意に$5$文字を選んで，横$1$列に並べてできる文字列は，$\boxed{\text{キ}}$通りある．

(b)　kinugasaの$8$文字から任意に$5$文字を選んで，横$1$列に並べてできる文字列のうち，隣接するどの$2$文字も異なる文字列は，$\boxed{\text{ク}}$通りある．

(c)　biwakoの$6$文字を横$1$列に並べてできる文字列のうち，aとbの間に$1$文字だけ入っている文字列は，$\boxed{\text{ケ}}$通りある．

(d)　biwakoの$6$文字を$3$つのグループに分ける方法は，$\boxed{\text{コ}}$通りある．ただし，各グループには少なくとも$1$文字が入ることとする．

【２】　ある国は$2$つの州$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$から構成されている．国全体の人口は$N$で常に一定であり，$\mathrm{A}$州の人口を$P\text{，}\mathrm{B}$州の人口を$Q$とし，$p={\displaystyle \frac{P}{N}}\text{，}q={\displaystyle \frac{Q}{N}}$とする．

　$\mathrm{A}$州と$\mathrm{B}$州の$1$人当たりの所得$y_{\mathrm{A}}\text{，}{y}_{\mathrm{B}}$は，$p\text{，}q$を変数とする次の関係式で決定されるとする．

$y_{\mathrm{A}}=\{\begin{array}{ll}-p^2+ap+1& \text{（}0<p\leqq 1\text{）}\\ 0& \text{（}p=0\text{）}\end{array}$

$y_{\mathrm{B}}=\{\begin{array}{ll}-q^2+aq+1& \text{（}0<q\leqq 1\text{）}\\ 0& \text{（}q=0\text{）}\end{array}$

ここで$a$は正の定数である．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　$y_{\mathrm{B}}$を$p$の関数として置き換えると

$y_{\mathrm{B}}=\{\begin{array}{ll}\boxed{\text{サ}}{p}^2+(\boxed{\text{シ}})p+(\boxed{\text{ス}})& \text{（}0\leqq p<1\text{）}\\ 0& \text{（}p=1\text{）}\end{array}$

である．

(2)　今，$p\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$として，今後，国民は所得が高い方の州へ移動するものとする．すなわち，$z(p)=y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{B}}$とすると，$z(p)>0$の場合は，$\mathrm{B}$州から$\mathrm{A}$州へ人口移動が続き，反対に$z(p)<0$の場合は，$\mathrm{A}$州から$\mathrm{B}$州へ人口移動が続くことになる．さらに，$z(p)=0$の場合でも，移動することで$y_{\mathrm{A}}\text{，}{y}_{\mathrm{B}}$がともに増加するのであれば，人口移動は続くとする．

　ここで人口移動が止まるときの$p$の値$p^{*}$について考える．$0<a\leqq \boxed{\text{セ}}$の場合には，$p^{*}$が$1$つだけ存在し，このときの$1$人当たりの所得は$\boxed{\text{ソ}}$である．また，$\boxed{\text{セ}}<a$の場合には，$p^{*}$が$2$つ存在し，このときの$1$人当たりの所得は$\boxed{\text{タ}}$である．

【３】　半径$1$の円$C_1$の内部に，右図のように，半径の等しい$k$個の円が，接点以外に重なる部分がないように並んでおり，これらの$k$個の円の集まりを円$P_1$群と呼ぶ．

　ここで，円$P_1$群の円はすべて円$C_1$と内接している．また円$P_1$群のどの円も円$P_1$群の他の$2$つの円と外接している．

　次に，円$P_1$群のすべての円と外接する円$C_2$を作り，円$P_1$群と同様に円$C_2$の内部に半径の等しい$k$個の円（円$P_2$群）を並べる．この操作を$n$回繰り返す．ただし，$n$は自然数，$k$は$3$以上の自然数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k=4$のとき，円$P_1$群の円の半径$r_1$を求めよ．

(2)　$A_k=1-\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{k}}$とするとき，円$P_1$群の円の半径$r_1$を$A_k$を用いて表せ．

(3)　円$P_1$群の円の半径と円$C_2$の半径が等しいとき，$k$の値を求めよ．

(4)　$k$が(3)で求めた値のとき，円$P_n$群の円の面積の和$S_n$を求めよ．

(5)　円$P_1$群から円$P_n$群のすべての円の面積の総和$S$を求めよ．