2015　立命館大　薬学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　$x$と$y$をともに正の整数とする．このとき，次の等式が成り立つような$x$をすべて求めると，$\boxed{\text{ア}}$である．

${\log }_y(x^3+6x^2-9x-34)-{\log }_y(x+2)=2$

【１】

(2)　赤玉，白玉，青玉，黄玉がそれぞれ$2$個ずつ，合計$8$個ある．このとき，次のように並べる方法を求めよ．ただし，同じ色の玉は区別がつかないものとする．

(a)　$8$個の玉から$4$個取り出して直線上に並べる方法は$\boxed{\text{イ}}$通りである．

(b)　$8$個の玉から$4$個取り出して円周上に並べる方法は$\boxed{\text{ウ}}$通りである．

【１】

(3)　半径$r$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{AB}$および辺$\mathrm{AD}$の長さはいずれも$a$であり，$\angle \mathrm{BAD}$の大きさは$\theta$であるとする．

(a)　対角線$\mathrm{BD}$の長さを$r$と$\theta$を用いて表すと，$\boxed{\text{エ}}$である．また，$\cos \theta$を$r$と$a$を用いて表すと，$\boxed{\text{オ}}$である．

(b)　$a=2\text{，}r=\sqrt{5}$のとき，対角線$\mathrm{BD}$の長さは$\boxed{\text{カ}}$である．この条件のもとで，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】

(4)　$\alpha =72\mathrm{°}$とする．このとき，$\cos 3\alpha -\cos 2\alpha$の値は$\boxed{\text{ク}}$である．よって，$\cos \alpha$の値は$\boxed{\text{ケ}}$となり，${\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　関数$f(x)=x^3-3x^2$について，次の各問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$は，$x=\boxed{\text{ア}}$のとき極大値$\boxed{\text{イ}}$であり，$x=\boxed{\text{ウ}}$のとき極小値$\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　曲線$C_1\text{：}y=f(x)$の接線について考える．

(a)　傾き$m$の接線の数は，$m=\boxed{\text{オ}}$のとき$1$本，$m>\boxed{\text{オ}}$のとき$2$本である．

(b)　傾き$m$の接線が$2$本あるとき，接点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，その$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha >\beta \text{）}$とすると，

$\alpha +\beta =\boxed{\text{カ}}\text{，}\alpha \beta =\boxed{\text{キ}}$

である．したがって，線分$\mathrm{AB}$の中点の座標は$(\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケ}})$となる．

(c)　(b)の接点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が直線$l\text{：}y=6x-8$上の点であるとするとき，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る放物線$C_2$を考える．このとき，点$\mathrm{A}$における放物線$C_2$の接線は，点$\mathrm{A}$における曲線$C_1$の接線と等しいものとする．放物線$C_2$の方程式は，

$y=\boxed{\text{コ}}$

である．また，この放物線$C_2$と直線$l$で囲まれる部分の面積は$\boxed{\text{サ}}$である．

【３】　夫婦と子供$1$人の$3$人家族が新車を購入することになった．車体の色を決める際，父親は白，母親と子供は赤と意見が分かれた．したがって，以下に述べる方法を用いて車体の色を決定することにした．

　まず，中身の見えない袋の中に白球$1$個と赤球$2$個を入れる．この袋から無作為に球$1$個を取り出し，その色を記録して袋に戻す．この操作を繰り返し，どちらかの色が$3$つ多く記録されたときに操作は終了し，その色を車体の色として決定する．

(1)　この操作が$3$回目で終了し，車体の色が白になる確率は$\boxed{\text{ア}}$である．$3$回目の操作で白が$1$つ多く記録されている確率は$\boxed{\text{イ}}$である．$3$回目の操作で赤が$1$つ多く記録されている確率は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　この操作が$3$回目で終了せず，$4$回目の操作を行ったとき，記録されている白と赤の差は$\boxed{\text{エ}}$または$\boxed{\text{オ}}$である．以降の偶数回目の操作でも同じことになるので，偶数回目の操作で車体の色が決定する確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

(3)　車体の色が決定しない場合，$2n-1$回目（$n$は自然数）の操作で白が$1$つ多く記録されている確率を$a_n\text{，}$赤が$1$つ多く記録されている確率を$b_n$とする．このとき，$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{b}_1={\displaystyle \frac{2}{3}}$であり，

$a_{n+1}=\boxed{\text{キ}}{a}_n+\boxed{\text{ク}}{b}_n\cdots \text{①}$

$b_{n+1}=\boxed{\text{ケ}}{a}_n+\boxed{\text{コ}}{b}_n\cdots \text{②}$

である．$\text{①，}\text{②}$を満たす数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$について，数列$\{a_n+\alpha b_n\}$が等比数列になるものとする．

　このとき，$\alpha$は$\boxed{\text{サ}}$または$\boxed{\text{シ}}$である．ただし，$\boxed{\text{サ}}>\boxed{\text{シ}}$とする．

　よって，数列$\{a_n+\alpha b_n\}$の一般項は$\alpha =\boxed{\text{サ}}$のとき$\boxed{\text{ス}}\text{，}\alpha =\boxed{\text{シ}}$のとき$\boxed{\text{セ}}$である．したがって，$a_n=\boxed{\text{ソ}}$である．

(4)　$2n+1$回目の操作で車体の色が白に決まる確率は$\boxed{\text{タ}}$である．

【４】　座標空間において，$5$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)\text{，}\mathrm{D}(2,2,2)$があり，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面を$\alpha$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\boxed{\text{ア}}$である．次に，点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=t\overrightarrow{\mathrm{OD}}$（$t$は実数）とすると，点$\mathrm{E}$が平面$\alpha$上にある条件は$t=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　平面$\alpha$に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{e}$の成分は$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$である．ただし，$\boxed{\text{ウ}}$は正とする．

(3)　$t$は条件$\boxed{\text{イ}}\leqq t\leqq 1$を満たしているとする．まず，点$\mathrm{E}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を点$\mathrm{G}$とする．このとき，垂線$\mathrm{EG}$の長さを$t$を用いて表すと$\boxed{\text{カ}}\text{，}$点$\mathrm{G}$の座標を$t$を用いて表すと$(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケ}})$である．

　次に，線分$\mathrm{AB}$を一辺とし点$\mathrm{G}$が重心となる三角形を$▵\mathrm{ABF}$とするとき，$t$を用いると，点$\mathrm{F}$の座標は$(\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$である．点$\mathrm{F}$は$t$の条件を満たしながら動き，$▵\mathrm{ABF}$は形を変える．このとき，点$\mathrm{F}$の軌跡は点$\mathrm{G}$の軌跡に平行であるから，すべての$▵\mathrm{ABF}$によりおおわれる図形の面積は，$\boxed{\text{ス}}$である．