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2015 立命館大学 文系学部学部個別方式

2月7日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(1) 整式 A =x2 +4x y+5 y2 -6x -2y +34

A= (x+ y- ) 2+ (y+ ) 2

と変形できる.よって,すべての変数 x y に対して,不等式 A 0 が成り立つ.このとき,等号が成り立つのは, x= y= のときである.

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2月7日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(2) 放物線 y =x2 -5x +4 に原点 ( 0,0 ) から引いた接線の方程式と接点の座標を求める.接点の座標が ( , ) のとき,接線の方程式は y = x となる.また,接点の座標が ( , ) のとき,接線の方程式は y = x となる.(ただし <

 次に,求めた 2 つの接線と放物線で囲まれた図形の面積を求めると となる.

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2月7日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(3)  2 つの不等式

25x -4 5n+ 1- 125<0 |log 2x -k| <log4 x

について,次の問いに答えよ.

(a) 不等式 の解は である.不等式 の解が存在するとき,定数 k の値の範囲は である.

(b) 不等式 の解は存在するが,不等式 を同時に満たす解は存在しない.このとき,定数 k の値の範囲は である.

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2月7日実施

易□ 並□ 難□

【2】 鳥獣保護区域候補地が 6 か所あり,合計 5 種類の鳥が生息している.予算上すべてを保護区には設定できないので,生息状況などを考慮して,保護区を設定することを考える.

 表は,候補の各地区 Di i= 1 2 6 に生息する鳥 Bj j= 1 2 5 の個体数(羽)と地区 Di を保護区に設定するための必要経費(万円)を示している.表をもとに次の問いに答えよ.

表 地区 Di 〔必要経費(万円)〕に生息している鳥 Bj の個体数(羽)

地区 Di 〔必要経費(万円)〕 Bj
B1 B2 B3 B4 B5
D1 1400 20 0 15 0 10
D2 1300 10 0 5 0 10
D3 1350 5 0 10 5 0
D4 1400 10 10 0 20 0
B5 1350 0 5 0 20 15
D6 1300 0 15 20 0 0

(1)

(a) 地区 D5 には, 3 種類の鳥 B2 B 4 B5 が合計 40 羽生息している.この 40 羽から同じ個体を重複して選ぶことを許して,選んだ 2 羽が同じ種類である確率は となる.

(b) (a)で求めた確率の逆数を,地区 D5 の種多様度指数とよび, S5 で表す.同様に考えると,地区 D 6 の種多様度指数 S 6 となる.

(c)  6 か所すべてについて種多様度指数を求め,大小の順に並べると, S > S >S =S 1>S 5>S 6 となる.

 ここで,保護区を 1 つ設定する場合には,種多様度指数が最大になる地区 S を保護区とする.

(2) 現在,予算が 3000 万円あるとして, 2 つの保護区を設定することを考える.たとえば, D1 D6 を保護区にすると, 種類が保護されることになり,経費は 2700 万円である.

 そこで,最も多くの種類が保護でき,その中で最も経費が小さくなるのは, D D の組合せであり,経費は 万円となる.(ただし < で答えよ.)

(3) 次に,鳥 Bj についての保護目標個体数(羽)を T j で表す.保護目標個体数 T j T1=5 T2 =5 T 3=10 T4 =15 T 5=25 とし,すべての鳥 Bj について保護目標個体数を満たすことを条件として,必要経費が最小となる 2 つの地区を設定する.

 たとえば, D1 D2 を保護区にすると, B1 30 羽, B2 0 羽, B3 20 羽, B4 0 羽, B5 20 羽保護でき,必要経費は 2700 万円となるが,保護目標個体数 T2 T 4 T 5 は満たされていない.

 表よりすべての保護目標個体数を満たし,必要経費が最小となる地区の組合せを求めると, D D であり,保護区設定にかかる費用は 万円である.(ただし < で答えよ.)

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2月7日実施

易□ 並□ 難□

【3】 点 O を中心とする 1 辺の長さ 1 の正十角形 ABCDEFGHIJ において,線分 OB と線分 AD の交点を点 P とし, OA =a OB = b とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  OAB を求めよ.

(2)  |OP | の値を求めよ.

(3)  |a | の値を求めよ.

(4)  AP a b で表せ.

(5)  AH a b で表せ.

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