2015　立命館大　理系学部2月8日実施MathJax

【１】　数列に関して以下の問いに答えよ．

(1)　漸化式

$a_1=7\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n+2\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定義される数列$\{a_n\}$を考える．定数$q=\boxed{\text{ア}}$を用いて$b_n=a_n-q$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$b_1=\boxed{\text{イ}}\text{，}$公比$\boxed{\text{ウ}}$の等比数列となる．したがって，その一般項$b_n$は，

$b_n=\boxed{\text{エ}}$

となる．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は，

$a_n=\boxed{\text{オ}}$

となる．

(2)　漸化式

$c_1=3\text{，}n{c}_{n+1}=(n+1)c_n+1\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定義される数列$\{c_n\}$を考える．$d_n={\displaystyle \frac{c_n}{n}}$とおくと，数列$\{d_n\}$の階差数列の一般項は$\boxed{\text{カ}}$となる．したがって，数列$\{d_n\}$の一般項は，

$d_n=\boxed{\text{キ}}$

となるので，数列$\{c_n\}$の一般項は，

$c_n=\boxed{\text{ク}}$

となる．

【２】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+2}}$

について考える．

(1)　関数$f(x)$の第$1$次導関数は

$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ケ}}$

となり，第$2$次導関数は

$f^{″}(x)=\boxed{\text{コ}}$

となる．よって，関数$f(x)$の変曲点は$(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$となる．また，

$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\boxed{\text{ス}}\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\boxed{\text{セ}}$

となる．

(2)　曲線$y=f(x)$および$3$つの直線$x=\boxed{\text{サ}}\text{，}x=t\text{（}t>\boxed{\text{サ}}\text{），}y=\boxed{\text{ス}}$で囲まれた図形の面積$S(t)$は

$S(t)=\boxed{\text{ソ}}$

となり，

$\underset{n\to \infty }{\lim }S(t)=\boxed{\text{タ}}$

となる．

【３】　座標平面において，原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}(5,5)\text{，}$点$\mathrm{B}(1,7)$の$3$点がある．$▵\mathrm{OAB}$の内心，外心，垂心の座標を求める．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$の長さは$\boxed{\text{チ}}$であり，辺$\mathrm{OB}$の長さは$\boxed{\text{ツ}}$である．$\angle \mathrm{BOA}$の二等分線の方程式は，

$y=\boxed{\text{テ}}$

である．$▵\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{ト}}$であり，内接円の半径は$\boxed{\text{ナ}}$である．したがって，$▵\mathrm{OAB}$の内心の座標は$(\boxed{\text{ニ}},\boxed{\text{ヌ}})$である．

(2)　辺$\mathrm{OA}$の垂直二等分線の方程式は，

$y=\boxed{\text{ネ}}$

であり，$▵\mathrm{OAB}$の外心の座標は$(\boxed{\text{ノ}},\boxed{\text{ハ}})$である．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$の垂心の座標は，$(\boxed{\text{ヒ}},\boxed{\text{フ}})$である．

【４】　自然数$n$に対して，$d(n)$を$n$の正の約数の個数とする．ただし，$n$の約数は，$1$と$n$自身を含む．

(1)　$63$を素因数分解すると$\boxed{\text{ヘ}}$である．したがって，$d(63)=\boxed{\text{ホ}}$となる．${63}^2\cdot 5$について同様に考えると$d({63}^2\cdot 5)=\boxed{\text{マ}}$である．

(2)　$d(n)=2$となる自然数$n$で$1\leqq n\leqq 35$を満たすものは全部で$\boxed{\text{ミ}}$個ある．それらのうち，正の約数の総和が$30$となるものは$n=\boxed{\text{ム}}$である．

　また，$d(n)=3$となる自然数$n$で$1\leqq n\leqq 1000$を満たすものは全部で$\boxed{\text{メ}}$個ある．それらのうち，正の約数の総和が$57$となるものは$n=\boxed{\text{モ}}$である．

(3)　$n$は$1\leqq n\leqq 100$を満たすとする．また，$\alpha \text{，}\beta$を自然数とし，$p\text{，}q$を相異なる素数とする．

(a)　$n=p^{\alpha }$と表される場合

$d(n)$の最大値は，$n=\boxed{\text{ヤ}}$のとき，$\boxed{\text{ユ}}$である．

(b)　$n=p^{\alpha }\cdot q^{\beta }$と表される場合

$d(n)$の最大値は，$n=\boxed{\text{ヨ}}$のとき，$\boxed{\text{ラ}}$である．