2015　立命館大　理系学部3月5日実施MathJax

【１】　整式$A(x)$は次の条件を満たす．

[1]　$x^2+2x+1$で割った余りは$3x+8$である．

[2]　$x^2+x-6$で割った余りは$-x+16$である．

(1)　$A(-1)=\boxed{\text{ア}}\text{，}A(2)=\boxed{\text{イ}}$であるから，$A(x)$を$x^2-x-2$で割った余りは$\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$A(x)$を$B(x)=x^3+2x^2-5x-6$で割った余りは$\boxed{\text{エ}}$である．また，$A(x)$を$B(x)$で割った商を，さらに$x+1$で割った余りは$\boxed{\text{オ}}$である．

(3)　条件[1]，[2]を満たす$A(x)$のうち，次数が最も低い整式は

$A(x)=\boxed{\text{カ}}$

である．

【２】　座標平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})\text{，}\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$がある．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$とする．$l$上の点$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$は媒介変数$t$（$t$は実数）の$1$次式を用いて

$\overrightarrow{p}=(\boxed{\text{キ}})\overrightarrow{a}+(\boxed{\text{ク}})\overrightarrow{b}$

と表せる．ただし$t=0$のとき$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\text{，}t=1$のとき$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{b}$であるものとする．さらに，直線$l$上にない点$\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$と点$\mathrm{P}$を通る直線$\mathrm{CP}$上の点$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$は，$t$と異なる媒介変数$s$（$s$は実数）の$1$次式を用いて

$\overrightarrow{q}=(\boxed{\text{ケ}})\overrightarrow{p}+(\boxed{\text{コ}})\overrightarrow{c}$

と表せる．ただし$s=0$のとき，$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{c}\text{，}s=1$のとき$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{p}$であるものとする．したがって，$\overrightarrow{q}$は$s\text{，}t$を用いて

$\overrightarrow{q}=(\boxed{\text{サ}})\overrightarrow{a}+(\boxed{\text{シ}})\overrightarrow{b}+(\boxed{\text{ス}})\overrightarrow{c}$

と表せる．

　以下においては，$\overrightarrow{a}=(0,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(2,2)\text{，}\overrightarrow{c}=(0,-1)$の場合を考える．直線$\mathrm{CP}$と$x$軸の交点が存在するとき，その交点を$\mathrm{W}$と表す．交点$\mathrm{W}$は点$\mathrm{Q}$が$x$軸上にあるときと考えられる．このとき$s$は$t$を用いて

$s=\boxed{\text{セ}}$（ただし$t\ne \boxed{\text{ソ}}$）

と表せる．したがって，交点$\mathrm{W}$の$x$座標$w$は$t$を用いて

$w=\boxed{\text{タ}}$

と表せる．このように，$w$は$t$の関数となるので$w(t)$と表す．

　この$w(t)$において$t\to \infty$とすると，交点$\mathrm{W}$はある点に限りなく近づく．すなわち

$\underset{t\to \infty }{\lim }w(t)=\boxed{\text{チ}}$

である．また，正の定数$k$を用いて$k\overrightarrow{p}$で表される直線$l_k$を考える．$l_k$上の点を${\mathrm{R}}_k$とし，直線$\mathrm{C}{\mathrm{R}}_k$と$x$軸の交点を${\mathrm{Z}}_k$とする．$t\to \infty$とすると，交点${\mathrm{Z}}_k$は交点$\mathrm{W}$と同様に，ある点に限りなく近づく．すなわち交点$Z_k$の$x$座標$z_k(t)$について

$\underset{t\to \infty }{\lim }{z}_k(t)=\boxed{\text{ツ}}$

である．

【３】　自然数$n$に対して，関数$y=f_n(x)$を

$y=f_n(x)={\displaystyle \frac{1}{n+1}}\cdot {\displaystyle \frac{x}{1+n^2{x}^2}}$

とする．

(1)　$y=f_n(x)$の漸近線の方程式は$\boxed{\text{テ}}$で，

${f_n}^{\prime }(x)=\boxed{\text{ト}}$

である．$f_n(x)$の最大値を$M_n$と表すと

$M_n=\boxed{\text{ナ}}$

となる．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{M}_n=\boxed{\text{ニ}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{M}_n=\boxed{\text{ヌ}}$

となる．

(2)　曲線$y=f_n(x)$と$x$軸および直線$x=2$によって囲まれる図形の面積を$S_n$とすると

$S_n=\boxed{\text{ネ}}$

となる．

　さらに，$x$軸，$y$軸および$2$直線$x=2\text{，}y=M_n$によって囲まれる長方形の面積を$I_n$とする．$I_n$を$M_n$を用いて表せば

$I_n=\boxed{\text{ノ}}$

であるから，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\boxed{\text{ハ}}$

となる．

【４】　$1$個のさいころを投げて，出た目に応じて数直線上を動く点$\mathrm{A}$を考える．点$\mathrm{A}$は原点から出発し，出た目が$1\text{，}2\text{，}3$のいずれかの場合（以下では事象$X$）は正の方向へ$5\text{，}$出た目が$4\text{，}5$のいずれかの場合（以下では事象$Y$）は負の方向へ$1\text{，}$出た目が$6$の場合（以下では事象$Z$）は負の方向へ$3$移動するものとする．さいころを続けて$10$回投げるとき，$10$回目の移動で点$\mathrm{A}$が原点に戻る確率$P$を次の手順で求める．

(1)　$10$回の試行のうち，事象$X$が起こる回数を$x\text{，}$事象$Y$が起こる回数を$y\text{，}$事象$Z$が起こる回数を$z$とすると

$x+y+z=10\cdots \text{①}$

が成り立つ．一方で，点$\mathrm{A}$の座標は$x\text{，}y\text{，}z$を用いて$\boxed{\text{ヒ}}$と表される．この値が$0$となる場合を考えればよい．よって，

$\boxed{\text{ヒ}}=0\cdots \text{②}$

が成り立つ．

(2)　移動距離の一番大きい事象$X$の起こりうる$x$の値の範囲を求める．$\text{①，}\text{②}$より，$z$は$x$を用いて，$z=\boxed{\text{フ}}$と表され，そのとりうる値の範囲は$0\leqq z\leqq 10$である．同様に，$y$は$x$を用いて，$y=\boxed{\text{ヘ}}$と表され，そのとりうる値の範囲は$0\leqq y\leqq 10$である．これらより$x$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ホ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{マ}}$となる．さらに，$x$は整数値であることより，$x$の値は大きい順に$\boxed{\text{ミ}}\text{，}\boxed{\text{ム}}$となる．このとき，$y\text{，}z$の値は共に整数である．

(3)　以上より，求める確率$P$は$\boxed{\text{メ}}$である．