2015　関西大　理系学部2月2日実施MathJax

$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}=(n+2)a_n+n!\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められている．次の問いに答えよ．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{(n+1)!}}$とおくとき，数列$\{b_n\}$の漸化式を求めよ．

(2)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{2}^{k-1}{a}_n$を求めよ．

　$n$を正の整数とする．第$1$象限において，点$\mathrm{P}(x,y)$が曲線$x^2+n^2{y}^2=2$上を動くとき，$xy$の最大値$a_n$を$n$を用いて表すと，$a_n=\boxed{\text{①}}$である．また，$xy$が最大となる$\mathrm{P}$の座標を$(x_n,y_n)$とすると，

$(x_n,y_n)=(\boxed{\text{②}},\boxed{\text{③}})$

である．さらに，曲線$x^2+n^2{y}^2=2$の点$(x_n,y_n\}$における接線の方程式は$y=\boxed{\text{④}}\text{，}$法線の方程式は$y=\boxed{\text{⑤}}$である．この接線と$x$軸，および$y$軸で囲まれた三角形の面積$S_n$を$n$を用いて表すと，$S_n=\boxed{\text{⑥}}$である．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{\right({\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{a}_{n+k})S_n\}=\boxed{\text{⑦}}$

である．

(1)　$f(x)$の導関数を求めよ．さらに$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$f(x)$の第$2$次導関数を求めよ．さらに曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．

(3)　不等式

$x^{2}f(x)\leqq 3\sqrt{3}{e}^{-\frac{3}{2}}$

が成り立つことを示せ．

(4)　$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^a}{x}^{2}f(x)dx$の値を求めよ．