2015　関西大　法・経済・政策・外国語・総合情報2月6日実施MathJax

(1)　$x^2+px+2p=0$の解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$(\alpha +2)(\beta +2)$の値を求めよ．

(2)　$x^2+px+2p=0$の$2$つの解$\alpha \text{，}\beta$がともに整数となるとき，そのような組$(\alpha ,\beta ,p)$をすべて求めよ．

　$\theta$を実数とし，$\alpha =\cos \theta$とする．$\cos 2\theta$を$\alpha$を用いて表すと$\cos 2\theta =\boxed{\text{①}}$である．$\cos 4\theta$を$\alpha$を用いて表すと$\cos 4\theta =\boxed{\text{②}}$である．また，$\cos 5\theta =\cos (4\theta +\theta )$と考えると，$\cos 5\theta =16{\alpha }^5-20{\alpha }^3+5\alpha$となる．$\beta =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$とすると，$\beta$は

$16x^5-20x^3+5x-\boxed{\text{③}}=0$

の解となることがわかる．因数分解すると

$16x^5-20x^3+5x-\boxed{\text{③}}=(x-1)(\boxed{\text{④}})$

となる．$\gamma =4\beta -{\displaystyle \frac{1}{\beta }}$とおき，$\boxed{\text{④}}=0$の両辺を$x^2$で割って計算することにより，$\gamma$の$2$次方程式$\boxed{\text{⑤}}=0$がえられる．よって，$\gamma =\boxed{\text{⑥}}$となる．したがって，$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}=\beta =\boxed{\text{⑦}}$となる．

　辺$\mathrm{AO}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{BA}$をそれぞれ$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\boxed{\text{①}}\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\boxed{\text{②}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{③}}\overrightarrow{b}$である．

　線分$\mathrm{AM}$と線分$\mathrm{ON}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BL}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{ON}$と線分$\mathrm{BL}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{④}}\overrightarrow{\mathrm{ON}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\boxed{\text{⑤}}\overrightarrow{\mathrm{ON}}$である．同様に考えると，

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BR}}=\boxed{\text{⑥}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{⑦}}\overrightarrow{b}$

と表される．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$120\mathrm{°}$で，$\left|\overrightarrow{a}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$とのなす角は$\boxed{\text{⑧}}\mathrm{°}$である．