2015　関西大　総合情報学部2月1日実施MathJax

【１】　半径$1$の球がある．球に内接するように直円柱がある．この直円柱の底面の半径を$r\text{，}$高さを$h$とする．さらに，球の内部の直円柱以外の空間に，図のように，直円柱の$2$つの底面を底面とし，頂点が球面に接する$2$つの直円錐をおく．このようにしてできた直円柱と$2$つの直円錐をあわせてできる立体の体積を$V$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$r$と$h$の関係を求めよ．

(2)　$V$を$r$と$h$を用いて表せ．

(3)　 $V$の最大値，および，そのときの$h$を求めよ．

【２】　放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$直線$l\text{：}y=ax\text{，}$直線$m\text{：}y=bx$を考える．ここで，$a<b$であるとする．$C$と$l$の交点の$x$座標を$x_1\text{，}{x}_2\text{（}{x}_1<x_2\text{），}C$と$m$の交点の$x$座標を$x_3\text{，}{x}_4\text{（}{x}_3<x_4\text{）}$とおく．

　$x\geqq 0$の領域で$3$直線$l\text{，}m\text{，}x=x_2$で囲まれる部分の面積を$S_1$とおき，$x\geqq 0$の領域で$x=x_2\text{，}m\text{，}C$で囲まれる部分の面積を$S_2$とおく．

　次の問いに答えよ．

(1)　$x_1<x_3<0<x_2<x_4$であることを示せ．

(2)　$a=-{\displaystyle \frac{12}{5}}\text{，}b={\displaystyle \frac{4}{3}}$のとき，$S_1$と$S_2$を求めよ．

【３】　$1$つのサイコロを$2$回振る．$1$回目に出た目を$m\text{，}2$回目に出た目を$n$とする．このとき，$f(x)=(x-m)(x-n)$を考える．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$f(x)=0$が重解を持つ確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$f(x)$の最小値が$-3$以下になる確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$y=f(x)$のグラフと$y$軸の交点の$y$座標が$12$以下である確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる図形の面積が$5$以上である確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$y=f(x)$のグラフが点$(1,4)$を通る確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　実数$x\text{，}y$が関係式$x^2+{(x+y)}^2=1$を満たしている．$x=\cos \theta \text{，}x+y=\sin \theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$と表す．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$x$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{①}}\leqq x\leqq \boxed{\text{②}}$である．

(2)　$y=\boxed{\text{③}}\sin (\theta +\boxed{\text{④}})$と表すことができるので，$\boxed{\text{⑤}}\leqq y\leqq \boxed{\text{⑥}}$である．

(3)　$\sin \alpha =\boxed{\text{⑦}}\text{，}\cos \alpha =\boxed{\text{⑧}}$となる$\alpha$を用いて，

$x^2+y^2=\boxed{\text{⑨}}+\boxed{\text{⑩}}\sin (2\theta +\alpha )$

と表すことにより，$\boxed{\text{⑪}}\leqq x^2+y^2\leqq \boxed{\text{⑫}}$であることがわかる．